Seja b in R e considere o subespaço vetorial S de P3(R) dado por
S=[x^3-x^2+1, x^3+x^2-x, x^3+b x^2+x+2]
Determine b de modo que S tenha dimensão 2 .

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
S=Spanp1,p2,p3subsetP3(R),
onde
p1=x^3 - x^2 + 1, p2=x^3 + x^2 - x, p3=x^3 + b,x^2 + x + 2,
e pede o valor de b para que dim S=2. Como dim S<3, as três funções devem ser L.D.; e como já veremos que p1,p2 são L.I., basta impor que p3 pertença ao span de p1,p2.

Passo 2

Verificamos que p1 e p2 são linearmente independentes pois não há lambda tal que
p2=lambda,p1,
já que os vetores de coeficientes (1,-1,0,1) e (1,1,-1,0) não são múltiplos um do outro. Logo dimSpanp1,p2=2.

Passo 3

Impondo que
p3=alpha,p1+beta,p2,
comparamos coeficientes em cada potência de x. Escrevendo os vetores de coeficientes como
p1:(1,-1,0,1), p2:(1,1,-1,0), p3:(1,b,1,2),
temos o sistema
alpha+beta=1, -alpha+beta=b, -beta=1, alpha=2

Passo 4

Da terceira e da quarta equações segue beta=-1 e alpha=2. Substituindo na segunda equação,
-alpha+beta = -2 + (-1) = -3,
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b=-3

Resposta

O valor de b para o qual dim S=2 é boxed-3.

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