Determine o ponto de vértice e esboce a parábola de equação x^2-6 x-4 y+17=0.

Passo 1

O enunciado pede o vértice e o esboço da parábola dada por
x^2 - 6x - 4y + 17 = 0
O conteúdo principal é o de cônicas (parábola) e vamos completar quadrados para pôr a equação na forma vértice.

Passo 2

Isolamos y. Da equação original temos
x^2 - 6x + 17 = 4y
portanto
y = 14x^2 - 64x + 174 = 14x^2 - 32x + 174

Passo 3

Agora completamos o quadrado em x. Escrevemos
14x^2 - 32x = 14l(x^2 - 6xr) = 14l[(x-3)^2 - 9r]
Logo
y = 14l(x-3r)^2 - 94 + 174 = 14l(x-3r)^2 + 2
Dessa forma reconhecemos a forma vértice
y = 14(x-3)^2 + 2
e o vértice é ,(3,2).

Passo 4

Observamos que o coeficiente de (x-3)^2 é positivo, logo a parábola abre para cima, e o eixo de simetria é a reta x=3. Para ajudar no esboço, podemos anotar:
ao tomar x=1 ou x=5,
y = 14(1-3)^2 + 2 = 44 + 2 = 3,
e não há interceptes reais com y=0 (não há raízes reais em x).

Passo 5

No esboço traçamos o vértice (3,2), a reta de simetria x=3 e dois pontos simétricos (1,3) e (5,3). A curva é uma parábola voltada para cima.

Resposta

O vértice da parábola é ,(3,2). O esboço é uma parábola de concavidade voltada para cima, simétrica em x=3, passando por (3,2), (1,3) e (5,3).

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