Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares: T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} T(x, y, z, s, t)=(x+2 y+2 z+s+ t, x+2 y+3 z+2 s-t, 3 x+6 y+8 z+5 s-t ).
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3} definida por
Encontrar uma base do núcleo (ou seja, do conjunto \{v\in\mathbb{R}^5\mid T(v)=0\}) e a dimensão do núcleo.
Encontrar uma base da imagem (ou seja, do subespaço gerado pelos vetores T(v)) e a dimensão da imagem.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A transformação é linear e está escrita coordenada a coordenada, então podemos representá‑la por uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times5} na base canônica.
Resolveremos o sistema homogêneo A\mathbf{v}=0 para o núcleo e estudaremos as colunas de A para a imagem.
Passo 2
Formo a matriz A que representa T na base canônica: cada coluna é T aplicada a um vetor canônico. Escrevendo as componentes dadas,
Aqui a coluna 1 é T(1,0,0,0,0)=(1,1,3)^{T}, a coluna 2 é T(0,1,0,0,0)=(2,2,6)^{T} etc.]
Passo 3
Estratégia (sem resolver ainda): para achar a imagem eu preciso de um conjunto de colunas de A que gerem o espaço coluna; a redução por linhas me diz quais colunas são de pivô (portanto formam uma base da imagem). Para o núcleo resolvo o sistema homogêneo A\mathbf{v}=0 fazendo eliminação por linhas e expressando as variáveis em função das livres.
Passo 4
Faço eliminação por linhas (mostro as operações para você ver passo a passo). Começo com A:
Para simplificar a leitura, elimino o coeficiente 2 na coluna do pivô da primeira linha usando a segunda linha: R_1\leftarrow R_1-2R_2. Isso dá uma forma escalonada reduzida importante:
(Se você quiser, poderíamos escolher outra base equivalente, mas esta vem diretamente das colunas de A.)]
Passo 6
Agora achamos o núcleo resolvendo A\mathbf{v}=0\). A forma escalonada reduzida que obtivemos corresponde ao sistema linear
\[\begin{cases} x+2y+0\cdot z- s+5t=0,\\[4pt] \phantom{x{+}}0\cdot y+z+s-2t=0. \end{cases}
Escrevendo de forma clara:
\begin{aligned} x+2y - s +5t &=0,\\[4pt] z + s -2t &=0. \end{aligned}
Escolhemos variáveis livres para as colunas sem pivô: as colunas sem pivô são 2\] (variável \(y), 4 (variável s) e 5 (variável t). Defina parâmetros
y=a,\qquad s=b,\qquad t=c,
com a,b,c\in\mathbb{R}. Da segunda equação obtemos
Os três vetores que aparecem são linearmente independentes (são geradores com parâmetros independentes), logo formam uma base do núcleo. Portanto a dimensão do núcleo é 3. Isso confere com o Teorema do Núcleo-Imagem (rank‑nullity): 2+3=5.]
Resposta
Base do núcleo: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-5\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\} \dim(\ker T)=3
Base da imagem: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]8\end{pmatrix}\right\} \dim(\operatorname{Im} T)=2]