Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} T(x, y, z, s, t)=(x+2 y+2 z+s+ t, x+2 y+3 z+2 s-t, 3 x+6 y+8 z+5 s-t ).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z,s,t)=\bigl(x+2y+2z+s+t,\;x+2y+3z+2s-t,\;3x+6y+8z+5s-t\bigr).
O que nos pediram:
  • Encontrar uma base do núcleo (ou seja, do conjunto \{v\in\mathbb{R}^5\mid T(v)=0\}) e a dimensão do núcleo.
  • Encontrar uma base da imagem (ou seja, do subespaço gerado pelos vetores T(v)) e a dimensão da imagem.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A transformação é linear e está escrita coordenada a coordenada, então podemos representá‑la por uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times5} na base canônica.
  • Resolveremos o sistema homogêneo A\mathbf{v}=0 para o núcleo e estudaremos as colunas de A para a imagem.

Passo 2

Formo a matriz A que representa T na base canônica: cada coluna é T aplicada a um vetor canônico. Escrevendo as componentes dadas,
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 6 & 8 & 5 & -1 \end{pmatrix}.
Aqui a coluna 1 é T(1,0,0,0,0)=(1,1,3)^{T}, a coluna 2 é T(0,1,0,0,0)=(2,2,6)^{T} etc.]

Passo 3

Estratégia (sem resolver ainda): para achar a imagem eu preciso de um conjunto de colunas de A que gerem o espaço coluna; a redução por linhas me diz quais colunas são de pivô (portanto formam uma base da imagem). Para o núcleo resolvo o sistema homogêneo A\mathbf{v}=0 fazendo eliminação por linhas e expressando as variáveis em função das livres.

Passo 4

Faço eliminação por linhas (mostro as operações para você ver passo a passo). Começo com A:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 6 & 8 & 5 & -1 \end{pmatrix}.
Subtraio a primeira linha da segunda e subtraio 3 vezes a primeira da terceira:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}.
Agora faço R_3\leftarrow R_3-2R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Para simplificar a leitura, elimino o coeficiente 2 na coluna do pivô da primeira linha usando a segunda linha: R_1\leftarrow R_1-2R_2. Isso dá uma forma escalonada reduzida importante:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Dessa matriz escalonada vemos claramente que há dois pivôs: nas colunas 1 e 3. Portanto o posto (rank) da matriz é 2.]

Passo 5

Conclusão imediata sobre dimensão da imagem: o posto é o número de colunas pivô, logo
\dim(\operatorname{Im} T)=2.
Uma base da imagem pode ser tomada pelas colunas correspondentes da matriz original A (as colunas de pivô). As colunas 1 e 3 de A são
\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]8\end{pmatrix}.
Portanto uma base da imagem é
\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]8\end{pmatrix}\right\}.
(Se você quiser, poderíamos escolher outra base equivalente, mas esta vem diretamente das colunas de A.)]

Passo 6

Agora achamos o núcleo resolvendo A\mathbf{v}=0\). A forma escalonada reduzida que obtivemos corresponde ao sistema linear \[\begin{cases} x+2y+0\cdot z- s+5t=0,\\[4pt] \phantom{x{+}}0\cdot y+z+s-2t=0. \end{cases}
Escrevendo de forma clara:
\begin{aligned} x+2y - s +5t &=0,\\[4pt] z + s -2t &=0. \end{aligned}
Escolhemos variáveis livres para as colunas sem pivô: as colunas sem pivô são 2\] (variável \(y), 4 (variável s) e 5 (variável t). Defina parâmetros
y=a,\qquad s=b,\qquad t=c,
com a,b,c\in\mathbb{R}. Da segunda equação obtemos
z = -s +2t = -b +2c.
Da primeira equação obtemos
x = -2y + s -5t = -2a + b -5c.]

Passo 7

Assim o vetor geral do núcleo é
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\\[2pt]s\\[2pt]t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2a+b-5c\\[2pt]a\\[2pt]-b+2c\\[2pt]b\\[2pt]c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}-5\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Os três vetores que aparecem são linearmente independentes (são geradores com parâmetros independentes), logo formam uma base do núcleo. Portanto a dimensão do núcleo é 3. Isso confere com o Teorema do Núcleo-Imagem (rank‑nullity): 2+3=5.]

Resposta

Base do núcleo: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-5\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\}
\dim(\ker T)=3
Base da imagem: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]8\end{pmatrix}\right\}
\dim(\operatorname{Im} T)=2]

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