Encontre uma base para o núcleo e outra para a imagem de
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para o núcleo e outra para a imagem da transformação linear
definida por
.
Matéria envolvida:
- Espaços Vetoriais:
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. - Transformações Lineares: Funções que respeitam certas propriedades (como adição e multiplicação por escalar).
- Núcleo e Imagem: O núcleo é o conjunto de todos os polinômios que são levados para o polinômio zero pela transformação
. A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando em algum polinômio de .
Vamos precisar:
- Expressar um polinômio geral em
. - Calcular derivadas.
- Resolver sistemas de equações para encontrar condições que definem o núcleo e a imagem.
Passo 2
Encontrando o Núcleo de
:
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo. O núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios
em
que satisfazem
.
Vamos escrever um polinômio geral em
:
onde
são coeficientes reais.
Agora, calculamos as derivadas:
Aplicando
:
Para que
esteja no núcleo,
deve ser o polinômio zero:
Isso significa que os coeficientes de
e a constante devem ser iguais a zero:
-
→ -
→ (já que )
O coeficiente
não aparece na transformação, então ele pode ser qualquer número real.
Portanto, todo polinômio no núcleo tem a forma:
Ou seja, o núcleo é composto por todos os polinômios constantes.
Uma base para o núcleo é o conjunto que gera todos esses polinômios. Como qualquer polinômio constante pode ser escrito como um múltiplo de 1, temos:
Passo 3
Encontrando a Imagem de
:
Agora, vamos determinar a imagem de
, que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando
a algum polinômio em
.
Usando o mesmo polinômio geral:
Já calculamos que:
Vamos analisar quais polinômios podem ser obtidos dessa forma. Observe que
é um polinômio de grau no máximo 1, já que não há termo com
.
Vamos representar a imagem como:
Podemos reescrever isso como:
Vemos que podemos escolher
e
, então qualquer polinômio na imagem tem a forma:
Isso significa que a imagem de
é o conjunto de todos os polinômios de primeiro grau, ou seja,
.
Uma base para
é o conjunto
, pois qualquer polinômio de primeiro grau pode ser escrito como uma combinação linear desses dois polinômios.
Então, temos:
Resposta
- Base do Núcleo:
- Base da Imagem: