Encontre uma base para o núcleo e outra para a imagem de T: P2 P2 dada por T(p(x))= p^prime(x)+p^prime prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para o núcleo e outra para a imagem da transformação linear definida por .
Matéria envolvida:
  • Espaços Vetoriais: é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2.
  • Transformações Lineares: Funções que respeitam certas propriedades (como adição e multiplicação por escalar).
  • Núcleo e Imagem: O núcleo é o conjunto de todos os polinômios que são levados para o polinômio zero pela transformação . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando em algum polinômio de .
Vamos precisar:
  • Expressar um polinômio geral em .
  • Calcular derivadas.
  • Resolver sistemas de equações para encontrar condições que definem o núcleo e a imagem.

Passo 2

Encontrando o Núcleo de p(x) = a x^2 + b x + c :
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo. O núcleo de p'(x) = 2a x + b é o conjunto de todos os polinômios p''(x) = 2a em T(p(x)) = p'(x) + p''(x) = (2a x + b) + 2a = 2a x + (b + 2a) que satisfazem 2a x + (b + 2a) = 0 .
Vamos escrever um polinômio geral em p(x) = 0 x^2 + 0 x + c = c :
Base do Núc<=o = 1
onde são coeficientes reais.
Agora, calculamos as derivadas:
Aplicando :
Para que esteja no núcleo, deve ser o polinômio zero:
Isso significa que os coeficientes de e a constante devem ser iguais a zero:
  1. (já que )
O coeficiente não aparece na transformação, então ele pode ser qualquer número real.
Portanto, todo polinômio no núcleo tem a forma:
Ou seja, o núcleo é composto por todos os polinômios constantes.
Uma base para o núcleo é o conjunto que gera todos esses polinômios. Como qualquer polinômio constante pode ser escrito como um múltiplo de 1, temos:
ú

Passo 3

Encontrando a Imagem de p(x) = a x^2 + b x + c :
Agora, vamos determinar a imagem de T(p(x)) = 2a x + (b + 2a) , que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando Ima>=m(T) = 2a x + (b + 2a) | a, b, c in R a algum polinômio em Ima>=m(T) = (2a) x + (b + 2a) | a, b in R .
Usando o mesmo polinômio geral:
d x + e
Já calculamos que:
Base da Ima>=m = x, 1
Vamos analisar quais polinômios podem ser obtidos dessa forma. Observe que é um polinômio de grau no máximo 1, já que não há termo com .
Vamos representar a imagem como:
Podemos reescrever isso como:
Vemos que podemos escolher e , então qualquer polinômio na imagem tem a forma:
Isso significa que a imagem de é o conjunto de todos os polinômios de primeiro grau, ou seja, .
Uma base para é o conjunto , pois qualquer polinômio de primeiro grau pode ser escrito como uma combinação linear desses dois polinômios.
Então, temos:

Resposta

  • Base do Núcleo:
  • Base da Imagem:

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