Determine uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da Ima>=m Im(T) das seguintes transformações lineares:
T: R^3 longrightarrow R^2, T(x, y, z)=(x-1, y+z);

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z) = (x - 1, y + z) . Precisamos encontrar uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da imagem Im(T) dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, e como encontrar bases e dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o núcleo N(T) . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em R^3 que são mapeados para o vetor zero em R^2 . Ou seja, queremos resolver a equação T(x, y, z) = (0, 0) .

Passo 3

Vamos escrever as equações resultantes de T(x, y, z) = (0, 0) :
x - 1 = 0 y + z = 0
Resolvendo a primeira equação, temos x = 1 .

Passo 4

Da segunda equação, y + z = 0 , podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar y :
y = -z
Isso significa que y é igual a menos z .

Passo 5

Agora, podemos expressar qualquer vetor no núcleo N(T) como:
(1, y, z) = (1, -z, z)
Podemos fatorar z :
(1, -z, z) = (1, 0, 0) + z cdot (0, -1, 1)
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são combinações lineares do vetor (0, -1, 1) .

Passo 6

Então, uma base para o núcleo N(T) é simplesmente o conjunto que contém o vetor (0, -1, 1) . Como há apenas um vetor na base, a dimensão do núcleo é 1.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a imagem Im(T) . A imagem de T é o conjunto de todos os vetores em R^2 que podem ser obtidos a partir de T(x, y, z) .

Passo 8

Observando a transformação T(x, y, z) = (x - 1, y + z) , percebemos que, para qualquer x , y e z , os componentes x - 1 e y + z podem assumir qualquer valor real. Isso significa que a imagem de T abrange todo o espaço R^2 .

Passo 9

Como a imagem é todo o R^2 , uma base para Im(T) pode ser os vetores canônicos (1, 0) e (0, 1) . Como temos dois vetores na base, a dimensão da imagem é 2.

Resposta

  • Base do núcleo N(T) : , (0, -1, 1) ,
  • Dimensão do núcleo N(T) : 1
  • Base da imagem Im(T) : , (1, 0), (0, 1) ,
  • Dimensão da imagem Im(T) : 2

Exercícios relacionados