Determine uma base e a dimensão do núcleo
e da
das seguintes transformações lineares:
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. Precisamos encontrar uma base e a dimensão do núcleo
e da imagem
dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, e como encontrar bases e dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o núcleo
. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja, queremos resolver a equação
.
Passo 3
Vamos escrever as equações resultantes de
:
Resolvendo a primeira equação, temos
.
Passo 4
Da segunda equação,
, podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar
:
Isso significa que
é igual a menos
.
Passo 5
Agora, podemos expressar qualquer vetor no núcleo
como:
Podemos fatorar
:
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são combinações lineares do vetor
.
Passo 6
Então, uma base para o núcleo
é simplesmente o conjunto que contém o vetor
. Como há apenas um vetor na base, a dimensão do núcleo é 1.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a imagem
. A imagem de
é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos a partir de
.
Passo 8
Observando a transformação
, percebemos que, para qualquer
,
e
, os componentes
e
podem assumir qualquer valor real. Isso significa que a imagem de
abrange todo o espaço
.
Passo 9
Como a imagem é todo o
, uma base para
pode ser os vetores canônicos
e
. Como temos dois vetores na base, a dimensão da imagem é 2.
Resposta
- Base do núcleo
: - Dimensão do núcleo
: 1 - Base da imagem
: - Dimensão da imagem
: 2