Determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
x+2 y+ & z =3 z & =1 2 x-2 y+ & 2 x+2 y-(a^2-3) z & =a

Passo 1

O enunciado dá o sistema de quatro equações lineares em três incógnitas
O conteúdo é análise de compatibilidade de sistemas lineares e classificação das soluções (nenhuma, única ou infinita). Para resolver, vamos usar substituição (da segunda equação) e depois estudar se a quarta equação é compatível com as duas primeiras que envolvem .

Passo 2

Da segunda equação vem imediatamente
z=1
Substituindo z=1 na primeira e na terceira equações, obtemos um sistema de duas equações em x e y:
x+2y+1=3, 2x-2y+1=2
Simplificando,
x+2y=2, 2x-2y=1

Passo 3

Resolvendo o sistema
x+2y=2, 2x-2y=1,
somamos as duas equações:
(x+2y)+(2x-2y)=2+1 Longrightarrow 3x=3 Longrightarrow x=1
Substituindo em x+2y=2:
1+2y=2 Longrightarrow 2y=1 Longrightarrow y=tfrac12
Até aqui temos a única solução candidata
(x,y,z)=l(1,tfrac12,1r)

Passo 4

Falta verificar se essa solução satisfaz a quarta equação
x+2y-l(a^2-3r)z=a
Substituindo (x,y,z)=(1,tfrac12,1):
1+2cdottfrac12-l(a^2-3r)cdot1 =1+1-l(a^2-3r) =2 - a^2 +3 =5 - a^2
Para ser compatível, deve valer
5 - a^2 = a Long<=ftrightarrow a^2 + a - 5 = 0
As raízes dessa equação quadrática são
a = -1 pm raiz1 + 202 = -1 pm raiz212

Passo 5

Conclusões sobre compatibilidade:
  • Se a^2 + a - 5 neq 0, a quarta equação contradiz a solução de (x,y,z) e o sistema fica impossível (sem solução).
  • Se a^2 + a - 5 = 0, existe a única solução (1,tfrac12,1).
  • Não há nenhum valor de a que torne o sistema infinitamente indeterminado, pois as três primeiras equações já determinam univocamente (x,y,z).

Resposta

Os valores de a para os quais o sistema tem exatamente uma solução são
a = -1 + raiz212 ou a = -1 - raiz212
Para nenhum outro valor de a o sistema tem solução, e não existe a que gere infinitas soluções.

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