Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
x+2 y+3 z & =0 2 x+y+3 z & =0 3 x+2 y+z & =0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x + 2y + 3z = 0, 2x + y + 3z = 0, 3x + 2y + z = 0,
usando eliminação de Gauss para obter a forma escada da matriz ampliada, determinar o posto da matriz de coeficientes A, o posto da matriz ampliada [Amid b] e, se possível, o grau de liberdade.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada do sistema:
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 0 2 & 1 & 3 & 0 3 & 2 & 1 & 0 ]
Aqui vamos aplicar operações elementares de linha para zerar abaixo do pivô em cada coluna.

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo de a11=1 usando
R2 R2 - 2R1, R3 R3 - 3R1,
ficando
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 0 0 & -3 & -3 & 0 0 & -4 & -8 & 0 ]

Passo 4

Agora o segundo pivô é a22=-3. Para zerar abaixo dele em R3, fazemos
R3 R3 - tfrac43R2,
e obtemos a forma escada final
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 0 0 & -3 & -3 & 0 0 & 0 & -4 & 0 ]

Passo 5

Contamos três linhas não nulas com pivôs em cada uma das colunas de x,y,z. Logo:
– posto da matriz de coeficientes A é rank(A)=3.
– posto da matriz ampliada [Amid b] é rank([Amid b])=3.
Como não há contradição ( rank(A)=rank([Amid b])) e há 3 variáveis, o grau de liberdade é
3 - 3 = 0,
isto é, solução única.

Resposta

A forma escada da matriz ampliada é
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 0 0 & -3 & -3 & 0 0 & 0 & -4 & 0 ],
rank(A)=3, rank([Amid b])=3, grau de liberdade =0.
A solução única é
x = 0, y = 0, z = 0

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