Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
T: P2(R) longrightarrow R, T(p(x))=integral0^1 p(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função T que pega um polinômio de grau no máximo 2, ou seja, p(x) in P2(R) , e retorna um número real que é a integral desse polinômio de 0 a 1. Nosso objetivo é verificar se essa função T é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear e como aplicar essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função T entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição (ou superposição): T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u e v .
  2. Multiplicação por escalar: T(c cdot u) = c cdot T(u) para qualquer vetor u e qualquer escalar c .
Então, pra verificar se T é linear, precisamos checar se essas duas propriedades são verdadeiras para T .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Seja p(x) e q(x) dois polinômios em P2(R) . A função T aplicada à soma desses polinômios fica:
T(p(x) + q(x)) = integral0^1 (p(x) + q(x)) , dx
Usando as propriedades das integrais, sabemos que:
integral0^1 (p(x) + q(x)) , dx = integral0^1 p(x) , dx + integral0^1 q(x) , dx = T(p(x)) + T(q(x))
Portanto, a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja c um número real e p(x) um polinômio em P2(R) . Aplicando T ao polinômio escalado c cdot p(x) , temos:
T(c cdot p(x)) = integral0^1 c cdot p(x) , dx
Como o escalar c pode ser tirado para fora da integral, fica:
integral0^1 c cdot p(x) , dx = c cdot integral0^1 p(x) , dx = c cdot T(p(x))
Assim, a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Sim, T é uma transformação linear.

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