Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
que pega um polinômio de grau no máximo 2, ou seja,
, e retorna um número real que é a integral desse polinômio de 0 a 1. Nosso objetivo é verificar se essa função
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear e como aplicar essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição (ou superposição):
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer vetor e qualquer escalar .
Então, pra verificar se
é linear, precisamos checar se essas duas propriedades são verdadeiras para
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Seja
e
dois polinômios em
. A função
aplicada à soma desses polinômios fica:
Usando as propriedades das integrais, sabemos que:
Portanto, a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja
um número real e
um polinômio em
. Aplicando
ao polinômio escalado
, temos:
Como o escalar
pode ser tirado para fora da integral, fica:
Assim, a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Sim,
é uma transformação linear.