Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se uma certa função chamada
é uma transformação linear. Isso cai no conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e aplicar esses critérios na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é chamada de transformação linear se satisfaz duas condições principais para todos os vetores
em
e todo escalar
:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura linear dos espaços vetoriais.
Passo 3
Vamos aplicar essas condições à função dada:
Primeiro, observe que
transforma um número real
em um vetor em
.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição de linearidade: a adição.
Sejam
e
dois números reais. Então:
Por outro lado:
Comparando as duas expressões:
Vemos que o terceiro componente não é igual:
versus
.
Passo 5
Já que a primeira condição de linearidade não está sendo satisfeita (especificamente, a adição não está funcionando como deveria), não precisamos verificar a segunda condição. A transformação
não é linear.
Resposta
A transformação
não é uma transformação linear.