Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
T: R longrightarrow R^3, T(x)=(x, 2 x, x-3);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se uma certa função chamada T é uma transformação linear. Isso cai no conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e aplicar esses critérios na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T: V W entre dois espaços vetoriais é chamada de transformação linear se satisfaz duas condições principais para todos os vetores u, v em V e todo escalar c :
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura linear dos espaços vetoriais.

Passo 3

Vamos aplicar essas condições à função dada:
T(x) = (x, 2x, x - 3)
Primeiro, observe que T transforma um número real x em um vetor em R^3 .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição de linearidade: a adição.
Sejam x1 e x2 dois números reais. Então:
T(x1 + x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x2), (x1 + x2) - 3)
Por outro lado:
T(x1) + T(x2) = (x1, 2x1, x1 - 3) + (x2, 2x2, x2 - 3) = (x1 + x2, 2x1 + 2x2, (x1 - 3) + (x2 - 3))
= (x1 + x2, 2(x1 + x2), x1 + x2 - 6)
Comparando as duas expressões:
T(x1 + x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x2), x1 + x2 - 3)
T(x1) + T(x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x2), x1 + x2 - 6)
Vemos que o terceiro componente não é igual: x1 + x2 - 3 versus x1 + x2 - 6 .

Passo 5

Já que a primeira condição de linearidade não está sendo satisfeita (especificamente, a adição não está funcionando como deveria), não precisamos verificar a segunda condição. A transformação T não é linear.

Resposta

A transformação T(x) = (x, 2x, x - 3) não é uma transformação linear.

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