Determine uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da Ima>=m Im(T) das seguintes transformações lineares:
T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(2 x-y, x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da imagem Im(T) da transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2 definida por T(x, y) = (2x - y, x) .
Matéria envolvida: Transformações lineares, núcleo e imagem de uma transformação linear, sistemas lineares.
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar todos os vetores (x, y) que são mapeados para o vetor zero (isso nos dá o núcleo N(T) ).
  2. Determinar quais vetores no espaço de chegada são obtidos pela transformação (isso nos dá a imagem Im(T) ).
  3. Identificar bases para esses conjuntos e calcular suas dimensões.

Passo 2

Vamos começar encontrando o núcleo [N(T)). O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que, ao serem transformados por , resultam no vetor zero .
Então, queremos resolver a equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver este sistema passo a passo.
Da segunda equação, já temos diretamente que:
Substituindo (x = 0] na primeira equação:
Então, o único vetor que satisfaz é .
Conclusão: O núcleo contém apenas o vetor zero.

Passo 3

Agora vamos determinar a imagem Im(T) da transformação T . A imagem é o conjunto de todos os vetores que T consegue “alcançar” no espaço de chegada R^2 .
Primeiro, representamos T como uma matriz A :
A = 2 & -1 1 & 0
As colunas dessa matriz são a1 = 2 1 e a2 = -1 0 .
A imagem Im(T) é o conjunto de todas as combinações lineares dessas colunas:
Im(T) = span a1, a2
Para saber se essas colunas são linearmente independentes, calculamos o determinante da matriz A :
det(A) = (2)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = 1 neq 0 ), as colunas são linearmente independentes. Isso significa que elas formam uma base para R^2 , ou seja, a imagem de T é todo o espaço R^2 .
Conclusão: A imagem Im(T) é R^2 e é gerada pelas colunas da matriz A .

Resposta

  • Núcleo N(T) :
    • Base: Não há vetores além do zero, então a base é vazia varnothing .
    • Dimensão: 0.
  • Imagem Im(T) :
    • Base: , (2, 1), (-1, 0) , .
    • Dimensão: 2.

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