Determine uma base e a dimensão do núcleo e da das seguintes transformações lineares: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear definida por .
Matéria envolvida: Transformações lineares, núcleo e imagem de uma transformação linear, sistemas lineares.
Para resolver isso, vamos precisar:
Encontrar todos os vetores que são mapeados para o vetor zero (isso nos dá o núcleo ).
Determinar quais vetores no espaço de chegada são obtidos pela transformação (isso nos dá a imagem ).
Identificar bases para esses conjuntos e calcular suas dimensões.
Passo 2
Vamos começar encontrando o núcleo [N(T)). O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que, ao serem transformados por , resultam no vetor zero .
Então, queremos resolver a equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver este sistema passo a passo.
Da segunda equação, já temos diretamente que:
Substituindo (x = 0] na primeira equação:
Então, o único vetor que satisfaz é .
Conclusão: O núcleo contém apenas o vetor zero.
Passo 3
Agora vamos determinar a imagem da transformação . A imagem é o conjunto de todos os vetores que consegue “alcançar” no espaço de chegada .
Primeiro, representamos como uma matriz :
As colunas dessa matriz são a1 = 2 1 e a2 = -1 0 .
A imagem Im(T) é o conjunto de todas as combinações lineares dessas colunas:
Im(T) = span a1, a2
Para saber se essas colunas são linearmente independentes, calculamos o determinante da matriz A :
det(A) = (2)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = 1 neq 0 ), as colunas são linearmente independentes. Isso significa que elas formam uma base para R^2 , ou seja, a imagem de T é todo o espaço R^2 .
Conclusão: A imagem Im(T) é R^2 e é gerada pelas colunas da matriz A .
Resposta
Núcleo N(T) :
Base: Não há vetores além do zero, então a base é vazia varnothing .