Determine uma transformação linear
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar uma transformação linear
. Isso significa que a gente vai transformar vetores de 3 dimensões em polinômios de grau no máximo 2. A gente vai precisar saber como a transformação age nas bases de
e usar isso pra descobrir como ela funciona de forma geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é completamente definida por como ela age nos vetores da base. No nosso caso, a base de
é
. O enunciado já nos dá o que
faz com cada um desses vetores:
Passo 3
Agora, queremos saber como
age em um vetor qualquer
de
. Pela propriedade da linearidade, a transformação
vai distribuir sobre a soma e multiplicar pelos escalares. Ou seja:
Substituindo pelos valores que já temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão juntando os termos semelhantes:
Então, organizando melhor:
Resposta
A transformação linear é dada por: