Determine uma transformação linear T: R^3 longrightarrow P2(R) tal que T(1,0,0)=1-x e T(0,1,0)=1+x e T(0,0,1)=1-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar uma transformação linear T: R^3 longrightarrow P2(R) . Isso significa que a gente vai transformar vetores de 3 dimensões em polinômios de grau no máximo 2. A gente vai precisar saber como a transformação age nas bases de R^3 e usar isso pra descobrir como ela funciona de forma geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é completamente definida por como ela age nos vetores da base. No nosso caso, a base de R^3 é (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) . O enunciado já nos dá o que T faz com cada um desses vetores:
T(1,0,0) = 1 - x
T(0,1,0) = 1 + x
T(0,0,1) = 1 - x^2

Passo 3

Agora, queremos saber como T age em um vetor qualquer (a, b, c) de R^3 . Pela propriedade da linearidade, a transformação T vai distribuir sobre a soma e multiplicar pelos escalares. Ou seja:
T(a, b, c) = a cdot T(1,0,0) + b cdot T(0,1,0) + c cdot T(0,0,1)
Substituindo pelos valores que já temos:
T(a, b, c) = a cdot (1 - x) + b cdot (1 + x) + c cdot (1 - x^2)

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão juntando os termos semelhantes:
T(a, b, c) = (a + b + c) + (-a + b) cdot x - c cdot x^2
Então, organizando melhor:
T(a, b, c) = (a + b + c) + (b - a) x - c x^2

Resposta

A transformação linear é dada por:
T(a, b, c) = (a + b + c) + (b - a),x - c,x^2

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