Determine uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da Ima>=m Im(T) das seguintes transformações lineares:
T: M2(R) longrightarrow M2(R), T(A)=A^t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da imagem Im(T) da transformação linear T que atua sobre matrizes 2 times 2 reais. A transformação T é definida por T(A) = A^t , ou seja, ela transpõe a matriz A . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrar bases e dimensões para eles.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o núcleo N(T) de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todas as matrizes A que são mapeadas para a matriz zero pela transformação T . Matemáticamente, isso significa:
N(T) = A in M2(R) mid T(A) = 0
No nosso caso, T(A) = A^t , então temos:
N(T) = A in M2(R) mid A^t = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação A^t = 0 . A matriz transposta de A ser igual a zero implica que cada elemento de A também é zero. Isso porque a transposição apenas troca as linhas pelas colunas, mas não altera os valores individuais das entradas da matriz. Portanto, a única matriz que satisfaz A^t = 0 é a matriz zero:
A = 0 & 0 0 & 0

Passo 4

Com isso, concluímos que o núcleo N(T) consiste apenas na matriz zero. Isso significa que N(T) é o conjunto trivial:
N(T) = 0
Como o núcleo contém apenas a matriz zero, a dimensão do núcleo é 0.

Passo 5

Agora vamos para a imagem Im(T) da transformação T . A imagem é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando T a alguma matriz A em M2(R) . Matematicamente:
Im(T) = T(A) mid A in M2(R) = A^t mid A in M2(R)

Passo 6

A transformação de transposição T(A) = A^t é uma transformação invertível porque se aplicarmos a transposição duas vezes, voltamos à matriz original:
T(T(A)) = (A^t)^t = A
Isso significa que cada matriz em M2(R) é a transposta de exatamente uma matriz em M2(R) . Portanto, a imagem de T é todo o espaço M2(R) .

Passo 7

Como a imagem Im(T) é todo o espaço M2(R) , a dimensão da imagem é a mesma que a dimensão de M2(R) . Sabemos que o espaço de matrizes 2 times 2 tem dimensão 4, já que podemos representar qualquer matriz 2 times 2 com 4 entradas independentes.
Uma base para Im(T) (que é M2(R) neste caso) pode ser o conjunto das matrizes padrão:
1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1

Resposta

  • Núcleo N(T) :
    • Base: 0
    • Dimensão: 0
  • Imagem Im(T) :
    • Base:
1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1
  • Dimensão: 4

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