Determine uma base e a dimensão do núcleo e da das seguintes transformações lineares: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear que atua sobre matrizes reais. A transformação é definida por , ou seja, ela transpõe a matriz . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrar bases e dimensões para eles.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todas as matrizes que são mapeadas para a matriz zero pela transformação . Matemáticamente, isso significa:
No nosso caso, , então temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação . A matriz transposta de ser igual a zero implica que cada elemento de também é zero. Isso porque a transposição apenas troca as linhas pelas colunas, mas não altera os valores individuais das entradas da matriz. Portanto, a única matriz que satisfaz é a matriz zero:
Passo 4
Com isso, concluímos que o núcleo N(T) consiste apenas na matriz zero. Isso significa que N(T) é o conjunto trivial:
N(T) = 0
Como o núcleo contém apenas a matriz zero, a dimensão do núcleo é 0.
Passo 5
Agora vamos para a imagem Im(T) da transformação T . A imagem é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando T a alguma matriz A em M2(R) . Matematicamente:
Im(T) = T(A) mid A in M2(R) = A^t mid A in M2(R)
Passo 6
A transformação de transposição T(A) = A^t é uma transformação invertível porque se aplicarmos a transposição duas vezes, voltamos à matriz original:
T(T(A)) = (A^t)^t = A
Isso significa que cada matriz em M2(R) é a transposta de exatamente uma matriz em M2(R) . Portanto, a imagem de T é todo o espaço M2(R) .
Passo 7
Como a imagem Im(T) é todo o espaço M2(R) , a dimensão da imagem é a mesma que a dimensão de M2(R) . Sabemos que o espaço de matrizes 2 times 2 tem dimensão 4, já que podemos representar qualquer matriz 2 times 2 com 4 entradas independentes.
Uma base para Im(T) (que é M2(R) neste caso) pode ser o conjunto das matrizes padrão: