Determine uma transformação linear T: R^2 longrightarrow P3(R) tal que T(1,1)=1-x^2 e T(1,-1)=x^3+1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma transformação linear T que vai de R^2 para P3(R) . Isso significa que T pega vetores de 2 dimensões e os transforma em polinômios de grau até 3. A gente sabe que:
  • T(1,1) = 1 - x^2
  • T(1,-1) = x^3 + 1
Vamos precisar usar propriedades de transformações lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T satisfaz:
T(au + bv) = aT(u) + bT(v)
Para vetores u e v em R^2 e escalares a e b .
No nosso caso, queremos expressar T(1,0) e T(0,1) em termos de T(1,1) e T(1,-1) .

Passo 3

Vamos chamar T(1,0) = P(x) e T(0,1) = Q(x) . Assim, podemos escrever:
T(1,1) = T(1,0) + T(0,1) = P(x) + Q(x) = 1 - x^2
T(1,-1) = T(1,0) - T(0,1) = P(x) - Q(x) = x^3 + 1
Agora temos um sistema de equações para P(x) e Q(x) .

Passo 4

Vamos somar as duas equações para eliminar Q(x) :
(P(x) + Q(x)) + (P(x) - Q(x)) = (1 - x^2) + (x^3 + 1)
2P(x) = x^3 + 2 - x^2
P(x) = x^3 + 2 - x^22

Passo 5

Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar P(x) :
(P(x) + Q(x)) - (P(x) - Q(x)) = (1 - x^2) - (x^3 + 1)
2Q(x) = -x^3 - x^2
Q(x) = -x^3 - x^22

Passo 6

Com P(x) e Q(x) encontrados, podemos escrever a transformação T(a,b) para qualquer vetor (a,b) in R^2 :
T(a,b) = aT(1,0) + bT(0,1)
T(a,b) = a(x^3 + 2 - x^22) + b(-x^3 - x^22)

Resposta

A transformação linear T é dada por:
T(a,b) = a(x^3 + 2 - x^2) + b(-x^3 - x^2)2

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