Determine uma transformação linear
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma transformação linear
que vai de
para
. Isso significa que
pega vetores de 2 dimensões e os transforma em polinômios de grau até 3. A gente sabe que:
Vamos precisar usar propriedades de transformações lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
satisfaz:
Para vetores
e
em
e escalares
e
.
No nosso caso, queremos expressar
e
em termos de
e
.
Passo 3
Vamos chamar
e
. Assim, podemos escrever:
Agora temos um sistema de equações para
e
.
Passo 4
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 5
Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
:
Passo 6
Com
e
encontrados, podemos escrever a transformação
para qualquer vetor
:
Resposta
A transformação linear
é dada por: