Determine uma base e a dimensão do núcleo e da das seguintes transformações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear . A transformação está definida no espaço dos polinômios de grau até 2, , e mapeia cada polinômio para um número real através da expressão .
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é um polinômio genérico em . Qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como:
onde , e são números reais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação nesse polinômio. Primeiro, calculamos a derivada de :
Depois, calculamos a integral de de 0 até :
Então, a transformação fica:
Passo 4
Estamos interessados no núcleo , que é o conjunto de todos os polinômios tais que . Ou seja:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, igualamos cada coeficiente a zero:
Resolvendo essas equações, temos:
a = 0 b = 0 c = -2a = 0
Então, o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo:
p(x) = 0
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem Im(T) , que é o conjunto de todos os valores que T(p(x)) pode assumir. Observando a expressão de T(p(x)) :
T(p(x)) = a x^33 + b x^22 + (2a + c) x + b
Para que T(p(x)) seja um número real (já que mapeia para R ), precisamos que todos os coeficientes de x^3 , x^2 e x sejam zero. Mas, na verdade, isso já levou ao núcleo sendo apenas o zero. Isso indica que a transformação não depende de x , ou seja, a imagem é todo o conjunto dos números reais que o termo constante b pode assumir.
Como b pode ser qualquer número real, a imagem de T é R .
Resposta
Resposta Final:
Núcleo N(T) : A base do núcleo é o conjunto 0 e sua dimensão é 0.
Imagem Im(T) : A base da imagem é 1 e sua dimensão é 1.