Determine uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da Ima>=m Im(T) das seguintes transformações lineares:
T: P2(R) longrightarrow R, T(p(x))=p^prime(x)+integral0^x p(t) d t ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da imagem Im(T) de uma transformação linear T . A transformação T está definida no espaço dos polinômios de grau até 2, P2(R) , e mapeia cada polinômio p(x) para um número real através da expressão T(p(x)) = p'(x) + integral0^x p(t) , dt .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é um polinômio genérico em P2(R) . Qualquer polinômio p(x) de grau até 2 pode ser escrito como:
p(x) = a x^2 + b x + c
onde a , b e c são números reais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação T nesse polinômio. Primeiro, calculamos a derivada de p(x) :
p'(x) = 2a x + b
Depois, calculamos a integral de p(t) de 0 até x :
integral0^x p(t) , dt = integral0^x (a t^2 + b t + c) , dt = a [t^33]0^x + b [t^22]0^x + c [t]0^x = a x^33 + b x^22 + c x
Então, a transformação T(p(x)) fica:
T(p(x)) = p'(x) + integral0^x p(t) , dt = 2a x + b + a x^33 + b x^22 + c x

Passo 4

Estamos interessados no núcleo N(T) , que é o conjunto de todos os polinômios p(x) tais que T(p(x)) = 0 . Ou seja:
2a x + b + a x^33 + b x^22 + c x = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x , os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Então, igualamos cada coeficiente a zero:
a3 = 0 &(coeficiente de x^3) b2 = 0 &(coeficiente de x^2) 2a + c = 0 &(coeficiente de x) b = 0 &(termo constante)
Resolvendo essas equações, temos:
a = 0 b = 0 c = -2a = 0
Então, o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo:
p(x) = 0

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem Im(T) , que é o conjunto de todos os valores que T(p(x)) pode assumir. Observando a expressão de T(p(x)) :
T(p(x)) = a x^33 + b x^22 + (2a + c) x + b
Para que T(p(x)) seja um número real (já que mapeia para R ), precisamos que todos os coeficientes de x^3 , x^2 e x sejam zero. Mas, na verdade, isso já levou ao núcleo sendo apenas o zero. Isso indica que a transformação não depende de x , ou seja, a imagem é todo o conjunto dos números reais que o termo constante b pode assumir.
Como b pode ser qualquer número real, a imagem de T é R .

Resposta

Resposta Final:
  • Núcleo N(T) : A base do núcleo é o conjunto 0 e sua dimensão é 0.
  • Imagem Im(T) : A base da imagem é 1 e sua dimensão é 1.

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