Determine uma base e a dimensão do núcleo e da das seguintes transformações lineares: ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da imagem Im(T) de uma transformação linear T . O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação, montar as equações que definem o núcleo e determinar a imagem com base nos vetores resultantes de T .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo N(T) . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios p(x) = a + bx + cx^2 em P2(R) que são mapeados para a matriz zero em M3(R) , ou seja:
T(a + bx + cx^2) = a - b + 2c & 0 & 0 0 & 2a + b & 0 0 & 0 & -a - 2b + c = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Isso nos dá um sistema de equações:
a - b + 2c = 0 2a + b = 0 -a - 2b + c = 0
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar a , b e c :
Da segunda equação: 2a + b = 0 Rightarrow b = -2a .
Substituindo b = -2a na primeira equação:
a - (-2a) + 2c = 0 Rightarrow 3a + 2c = 0 Rightarrow c = -32a
Agora, substituindo b = -2a e c = -32a na terceira equação:
-a - 2(-2a) + (-32a) = 0 Rightarrow -a + 4a - 32a = 0 Rightarrow 52a = 0 Rightarrow a = 0
Então, b = 0 e c = 0 .
Isso significa que o único vetor no núcleo é o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem Im(T) . A imagem é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando T a algum polinômio em P2(R) . Observando a transformação:
T(a + bx + cx^2) = a - b + 2c & 0 & 0 0 & 2a + b & 0 0 & 0 & -a - 2b + c
Podemos ver que cada matriz na imagem tem zeros fora da diagonal principal. Portanto, a imagem consiste de todas as matrizes diagonais de M3(R) que podem ser formadas por combinações lineares das entradas a - b + 2c , 2a + b e -a - 2b + c .
Vamos formar isso como combinação linear:
a - b + 2c 2a + b -a - 2b + c = a 1 2 -1 + b -1 1 -2 + c 2 0 1
Então, a imagem é gerada pelos vetores 1 2 -1 , -1 1 -2 e 2 0 1 .
Resposta
O núcleo N(T) é apenas o vetor zero, ou seja:
N(T) = 0
A dimensão de N(T) é 0.
A imagem Im(T) é gerada pelos vetores 1 2 -1 , -1 1 -2 e 2 0 1 . Portanto, uma base para Im(T) é: