Determine uma base e a dimensão do núcleo
e da
das seguintes transformações lineares:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que atua sobre polinômios de grau no máximo 3, ou seja, pertencentes a
. A transformação é definida por
, onde
é a segunda derivada do polinômio
. Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão tanto do núcleo
quanto da imagem
dessa transformação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, derivadas de polinômios, e álgebra linear básica.
Passo 2
Vamos começar pelo núcleo da transformação
, que é o conjunto de todos os polinômios
em
que são mapeados para o zero pela transformação. Matemáticamente, isso é:
Para que
seja válido para todo
, precisamos que
, já que
não é a zero função.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
. Suponha que
. A segunda derivada de
é:
Para que
para todo
, os coeficientes devem satisfazer:
Isso implica que
e
.
Passo 4
Com
e
, o polinômio
fica reduzido a:
Ou seja, o núcleo
consiste em todos os polinômios de grau no máximo 1 (polinômios lineares).
Passo 5
Para determinar uma base para
, precisamos encontrar polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o núcleo. Os polinômios
e
atendem a esses critérios:
Como são dois polinômios e não um múltiplo um do outro, eles são linearmente independentes. Portanto, essa é uma base para
.
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, ou seja, 2.
Passo 6
Agora, vamos para a imagem da transformação
, que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando
a algum polinômio em
. Matemáticamente:
Vamos calcular
para um polinômio genérico
:
Passo 7
Observamos que qualquer polinômio na imagem de
tem apenas os termos
e
, com coeficientes
e
respectivamente. Para formar uma base, precisamos de polinômios que sejam lineares e que gerem toda a imagem. Os polinômios
e
satisfazem isso:
Esses dois polinômios são linearmente independentes e qualquer elemento da imagem pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Passo 8
Portanto, a base para
é
. A dimensão da imagem é 2, já que temos dois vetores na base.
Resposta
- Base do núcleo
: - Dimensão do núcleo
: 2 - Base da imagem
: - Dimensão da imagem
: 2