Determine uma base e a dimensão do núcleo N(T) e da Ima>=m Im(T) das seguintes transformações lineares:
T: P3(R) longrightarrow P3(R), T(p(x))=x^2 p^prime prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T que atua sobre polinômios de grau no máximo 3, ou seja, pertencentes a P3(R) . A transformação é definida por T(p(x)) = x^2 p''(x) , onde p''(x) é a segunda derivada do polinômio p(x) . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão tanto do núcleo N(T) quanto da imagem Im(T) dessa transformação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, derivadas de polinômios, e álgebra linear básica.

Passo 2

Vamos começar pelo núcleo da transformação T , que é o conjunto de todos os polinômios p(x) em P3(R) que são mapeados para o zero pela transformação. Matemáticamente, isso é:
N(T) = p(x) in P3(R) | T(p(x)) = x^2 p''(x) = 0
Para que x^2 p''(x) = 0 seja válido para todo x , precisamos que p''(x) = 0 , já que x^2 não é a zero função.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação p''(x) = 0 . Suponha que p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 . A segunda derivada de p(x) é:
p''(x) = 2 a2 + 6 a3 x
Para que p''(x) = 0 para todo x , os coeficientes devem satisfazer:
2 a2 = 0 e 6 a3 = 0
Isso implica que a2 = 0 e a3 = 0 .

Passo 4

Com a2 = 0 e a3 = 0 , o polinômio p(x) fica reduzido a:
p(x) = a0 + a1 x
Ou seja, o núcleo N(T) consiste em todos os polinômios de grau no máximo 1 (polinômios lineares).

Passo 5

Para determinar uma base para N(T) , precisamos encontrar polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o núcleo. Os polinômios 1 e x atendem a esses critérios:
1, x
Como são dois polinômios e não um múltiplo um do outro, eles são linearmente independentes. Portanto, essa é uma base para N(T) .
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, ou seja, 2.

Passo 6

Agora, vamos para a imagem da transformação T , que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando T a algum polinômio em P3(R) . Matemáticamente:
Im(T) = T(p(x)) | p(x) in P3(R)
Vamos calcular T(p(x)) para um polinômio genérico p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 :
p''(x) = 2 a2 + 6 a3 x
T(p(x)) = x^2 p''(x) = x^2 (2 a2 + 6 a3 x) = 2 a2 x^2 + 6 a3 x^3

Passo 7

Observamos que qualquer polinômio na imagem de T tem apenas os termos x^2 e x^3 , com coeficientes 2 a2 e 6 a3 respectivamente. Para formar uma base, precisamos de polinômios que sejam lineares e que gerem toda a imagem. Os polinômios x^2 e x^3 satisfazem isso:
x^2, x^3
Esses dois polinômios são linearmente independentes e qualquer elemento da imagem pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Passo 8

Portanto, a base para Im(T) é x^2, x^3 . A dimensão da imagem é 2, já que temos dois vetores na base.

Resposta

  • Base do núcleo N(T) : 1, x
  • Dimensão do núcleo N(T) : 2
  • Base da imagem Im(T) : x^2, x^3
  • Dimensão da imagem Im(T) : 2

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