Determine uma base e a dimensão para os seguintes subespaços de
:
(Conjuntos das Matrizes
simétricas)
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão de dois espaços vetoriais sobre
embutidos em
:
-
(todas as matrizes ). -
(as matrizes simétricas).
Para isso vamos usar o conceito de dimensão como número de vetores de uma base e escolher bases canônicas para cada um.
Passo 2
Para
Logo uma base de ,
Passo 3
Para
, uma matriz
satisfaz
se e somente se
. Os graus de liberdade são:
- três entradas diagonais
, - três entradas acima da diagonal
(as de baixo seguem delas).
Podemos escolher como base os seguintes seis vetores-matriz:
Eles são independentes e geram todo
, portanto
Resposta
Base de
:
Base de
: