Determine uma base e a dimensão para os seguintes subespaços de M3 times 3(R) :
V=(M3 times 3(R),+, cdot), W=A in M3 times 3(R) ; A=A^T (Conjuntos das Matrizes 3 times 3 simétricas)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão de dois espaços vetoriais sobre R embutidos em M3times3(R):
  1. V=M3times3(R) (todas as matrizes 3times3).
  2. W=Ain M3times3(R) : A=A^T (as matrizes simétricas).
    Para isso vamos usar o conceito de dimensão como número de vetores de uma base e escolher bases canônicas para cada um.

Passo 2

Para
Logo uma base de ,

Passo 3

Para W, uma matriz A=(aij) satisfaz A=A^T se e somente se aij=aji. Os graus de liberdade são:
  • três entradas diagonais a11,a22,a33,
  • três entradas acima da diagonal a12,a13,a23 (as de baixo seguem delas).
    Podemos escolher como base os seguintes seis vetores-matriz:
,E11,;E22,;E33,;E12+E21,;E13+E31,;E23+E32
Eles são independentes e geram todo W, portanto
dim W = 6

Resposta

Base de V:
E11,E12,E13,E21,E22,E23,E31,E32,E33, dim V=9
Base de W:
E11,E22,E33,E12+E21,E13+E31,E23+E32, dim W=6

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