Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
W4=(ccca & b & c c & b & a) ; a, b, c in R subset M2 times 3(R)

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
W4=la & b & c c & b & a;;;a,b,cinRrsubset M2times3(R)
O conteúdo envolvido é teoria de subespaços vetoriais: identificar vetores--geradores livres (base) e contar o número de vetores (dimensão).

Passo 2

Observe que todo elemento de W4 é determinado pelos parâmetros a,b,c. Escrevemos
M(a,b,c)=a & b & c[4pt]c & b & a
Logo quaisquer Min W4 obedecem a três graus de liberdade.]

Passo 3

Podemos decompor M(a,b,c) como combinação linear de três matrizes canônicas. Defina
E1=1 & 0 & 0[4pt]0 & 0 & 1, E2=0 & 1 & 0[4pt]0 & 1 & 0, E3=0 & 0 & 1[4pt]1 & 0 & 0
Então
M(a,b,c)=a,E1+b,E2+c,E3 ]

Passo 4

Os vetores E1,E2,E3 são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial anula) e geram W4. Portanto formam uma base de W4 e, como há três vetores,
dim(W4)=3

Resposta

Uma base de W4 é
l,E1=1 & 0 & 0[4pt]0 & 0 & 1,; E2=0 & 1 & 0[4pt]0 & 1 & 0,; E3=0 & 0 & 1[4pt]1 & 0 & 0r,
e dim(W4)=3.]

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