Obtenha equações das elipses cujos focos e medida do semi-eixo maior são dados.
a
Sugestão É mais cômodo resolver usando a definição de elipse, mas é mais instrutivo usar translações e rotações.
Sugestão É mais cômodo resolver usando a definição de elipse, mas é mais instrutivo usar translações e rotações.
Passo 1
O enunciado dá os focos da elipse em
e
, e o semi-eixo maior
. Vamos usar rotações de eixo para levar os focos a um dos eixos coordenados, achar a equação padrão e depois voltar ao sistema original.
Passo 2
O centro da elipse é o ponto médio dos focos. Calculamos
Como o centro já é a origem, não precisamos de translação, só de rotação.
Passo 3
A reta que une os focos tem inclinação
(linha
), isto é, forma
com o eixo
. Para alinhar essa reta a um dos eixos novos, aplicamos rotação de
. Definimos as novas coordenadas
Passo 4
Em
, os focos ficam em
Logo, eles estão sobre o eixo
a uma distância
da origem.
Passo 5
Na forma padrão de uma elipse com eixo maior ao longo de
, vale
Aqui
e
, portanto
Passo 6
A equação no sistema
é
Passo 7
Voltando a
pela rotação inversa, substituímos
em
Multiplicando por
:
Ou ainda, escrevendo em forma implícita:
Resposta
A equação da elipse, no sistema original
, é