Obtenha equações das elipses cujos focos e medida do semi-eixo maior são dados.
(-1,-1),(1,1), a =3
Sugestão É mais cômodo resolver usando a definição de elipse, mas é mais instrutivo usar translações e rotações.

Passo 1

O enunciado dá os focos da elipse em (-1,-1) e (1,1), e o semi-eixo maior a=3. Vamos usar rotações de eixo para levar os focos a um dos eixos coordenados, achar a equação padrão e depois voltar ao sistema original.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio dos focos. Calculamos
l(-1+12,,-1+12r) = (0,0)
Como o centro já é a origem, não precisamos de translação, só de rotação.

Passo 3

A reta que une os focos tem inclinação 1 (linha y=x), isto é, forma 45^circ com o eixo x. Para alinhar essa reta a um dos eixos novos, aplicamos rotação de -45^circ. Definimos as novas coordenadas
x' = x - yraiz2, y' = x + yraiz2

Passo 4

Em (x',y'), os focos ficam em
(-1,-1)mapstol(0,-raiz2r), (1,1)mapstol(0,raiz2r)
Logo, eles estão sobre o eixo y' a uma distância c=raiz2 da origem.

Passo 5

Na forma padrão de uma elipse com eixo maior ao longo de y', vale
a^2 = b^2 + c^2
Aqui a=3 e c=raiz2, portanto
b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 2 = 7

Passo 6

A equação no sistema (x',y') é
x'^2b^2 + y'^2a^2 = 1 Longrightarrow x'^27 + y'^29 = 1

Passo 7

Voltando a (x,y) pela rotação inversa, substituímos
x' = x - yraiz2, y' = x + yraiz2
em
(x-y)^2/27 + (x+y)^2/29 = 1
Multiplicando por 2:
(x-y)^27 + (x+y)^29 = 2
Ou ainda, escrevendo em forma implícita:
9(x-y)^2 + 7(x+y)^2 = 126 ;Long<=ftrightarrow; 8x^2 - 2xy + 8y^2 = 63

Resposta

A equação da elipse, no sistema original (x,y), é
8x^2 - 2xy + 8y^2 = 63

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