Determine uma base e a dimensão do subespaço de M4 times 4(R) formado por todas as matrizes diagonais.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar uma base e a dimensão do subespaço de todas as matrizes diagonais em M4times4(R). Nesse subespaço, as únicas entradas possivelmente não nulas ficam na diagonal principal, ou seja, cada elemento é determinado por 4 números. Vamos usar a ideia de escolher matrizes que isolam cada uma dessas entradas da diagonal.

Passo 2

Uma base natural é composta por 4 matrizes que têm exatamente um “1” numa posição da diagonal principal e zeros em todo o resto. Em notação, definimos:
É fácil ver que qualquer matriz diagonal se escreve como
logo esse conjunto gera o subespaço. Além disso, eles são linearmente independentes porque nenhum deles se combina para dar outro.

Passo 3

Como temos exatamente 4 vetores na base, a dimensão do subespaço é o número de elementos dessa base, ou seja,
dim = 4

Resposta

Uma base é
D1,D2,D3,D4
com as matrizes definidas acima, e a dimensão do subespaço é 4.

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