Determine uma base e a dimensão do subespaço de formado por todas as matrizes diagonais.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar uma base e a dimensão do subespaço de todas as matrizes diagonais em . Nesse subespaço, as únicas entradas possivelmente não nulas ficam na diagonal principal, ou seja, cada elemento é determinado por 4 números. Vamos usar a ideia de escolher matrizes que isolam cada uma dessas entradas da diagonal.
Passo 2
Uma base natural é composta por 4 matrizes que têm exatamente um “1” numa posição da diagonal principal e zeros em todo o resto. Em notação, definimos:
É fácil ver que qualquer matriz diagonal se escreve como
logo esse conjunto gera o subespaço. Além disso, eles são linearmente independentes porque nenhum deles se combina para dar outro.
Passo 3
Como temos exatamente 4 vetores na base, a dimensão do subespaço é o número de elementos dessa base, ou seja,
dim = 4
Resposta
Uma base é
D1,D2,D3,D4
com as matrizes definidas acima, e a dimensão do subespaço é 4.