Seja V=M3 times 1(R) e W=X in V: A X=0 onde
A=[lll 1 & 0 & 3 1 & 1 & 1 2 & 1 & 4 ]
a) Determine uma base de W.
b) Determine a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define o espaço V=M3times1(R) (que é isomorfo a R^3) e o subespaço
W = Xin V mid A,X = 0,
onde
A = 1 & 0 & 3 1 & 1 & 1 2 & 1 & 4
Queremos achar uma base de W (o núcleo de A) e sua dimensão. Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo A,X=0.

Passo 2

Escrevendo X=(x1,x2,x3)^T, o sistema A,X=0 vira
x1 + 0cdot x2 + 3x3 = 0, x1 + x2 + x3 = 0, 2x1 + x2 + 4x3 = 0

Passo 3

Da primeira equação temos
x1 + 3x3 = 0 Longrightarrow x1 = -3x3
Substituindo na segunda equação:
(-3x3) + x2 + x3 = 0 Longrightarrow x2 -2x3 = 0 Longrightarrow x2 = 2x3
A terceira equação se reduz a 0=0, isto é, não impõe nova condição.

Passo 4

Como é parâmetro livre, escrevemos . Assim
Logo uma base de é

Passo 5

A dimensão de W é igual ao número de vetores na base, ou seja,
dim W = 1

Resposta

(a) Uma base de W é (-3,2,1)^T
(b) dim W = 1

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