Determine uma base e a dimensão do subespaço W de R^4 gerado pelos vetores:
v1=(1,-4,-2,1), v2=(1,-3,-1,2), v3=(3,-8,-2,7)

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço WsubsetR^4 gerado pelos vetores
v1=(1,-4,-2,1), v2=(1,-3,-1,2), v3=(3,-8,-2,7)
O conteúdo envolve independência linear, combinação linear e definição de base e dimensão.

Passo 2

Primeiro, verificamos se v1 e v2 são independentes. Não há escalar k tal que
v2=k,v1,
pois da primeira coordenada viria k=1 e da segunda -4k=-3 daria k=tfrac34. Como esses valores divergem, concluímos que v1 e v2 são linearmente independentes.

Passo 3

Agora testamos se
Isso gera o sistema
Da primeira equação e , e as outras equações batem. Logo
ou seja, é combinação de e e, portanto, linearmente dependente em relação a eles.

Passo 4

Como v1 e v2 são independentes e geram todo W (já que v3 está no span), um conjunto máximo de vetores independentes em W é v1,v2. Pela definição de dimensão,
dim(W)=2

Resposta

Uma base de W é
(1,-4,-2,1),,(1,-3,-1,2),
e dim(W)=2.

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