<=adsto Identifique a cônica até chegar na equacão reduzida.
x^2-4 x y+4 y^2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica definida por
x^2-4xy+4y^2=0
e pede que a classifiquemos e cheguemos à sua forma reduzida. Vamos usar álgebra de formas quadráticas: identificar os coeficientes A, B, C, calcular o discriminante De<a e verificar degenerescência pela matriz da forma quadrática.

Passo 2

Extraímos os coeficientes da parte homogênea de segundo grau:
A = 1, B = -4, C = 4
O discriminante da cônica é
De<a = B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4cdot1cdot4 = 16 - 16 = 0
Como De<a=0, em princípio seria uma parábola — mas ainda pode ser degenerada.

Passo 3

Para ver se ela é degenerada, montamos a matriz simétrica da forma quadrática
Q = A & B2 [-6pt] B2 & C = 1 & -2 [-3pt] -2 & 4
e calculamos seu determinante:
det Q = 1 cdot 4 - (-2) cdot (-2) = 4 - 4 = 0
Como det Q=0, a forma quadrática é de posto 1 e a cônica é degenerada — neste caso, duas retas (reais) coincidentes.]

Passo 4

Quando a forma quadrática é de posto 1, ela se escreve como quadrado de uma forma linear. Reparando em
x^2-4xy+4y^2 = (x - 2y)^2,
vemos imediatamente a fatoração.

Passo 5

Portanto a cônica degenerada consiste em duas retas coincidentes dadas por
x - 2y = 0
Essa é sua equação reduzida.

Resposta

A cônica é degenerada em duas retas coincidentes, e a forma reduzida é
x - 2y = 0

Exercícios relacionados