Dê exemplos de matrizes A e B de mdo que:
A+B seja inversível, embora A e B não sejam inversíveis.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar duas matrizes quadradas A e B tais que cada uma isoladamente não seja inversível (isto é, \det(A)=0 e \det(B)=0), mas a soma A+B seja inversível (ou seja, \det(A+B)\neq0). O conteúdo usado será noções de determinante e condição de invertibilidade para matrizes.

Passo 2

Escolhemos matrizes 2\times2 muito simples, cada uma com posto menor que 2, de modo a serem singulares. Por exemplo:
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Calculamos seus determinantes para verificar a singularidade:
\det(A)=1\cdot0 - 0\cdot0 = 0, \qquad \det(B)=0\cdot1 - 0\cdot0 = 0.
Logo, A e B não são inversíveis.]

Passo 3

Agora somamos A e B:
A+B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix} = I_2.
O determinante da matriz identidade I_2 é
\det(A+B)=\det(I_2)=1\neq0,
portanto A+B é inversível.]

Resposta

Como exemplo temos
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix},
onde \det(A)=0, \det(B)=0 e \det(A+B)=1.]

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