Determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial F nos seguintes casos:
F=[(1,2,3),(1,3,2),(1,4,1)] subset R^3.

Passo 1

O enunciado define
F=spanl(1,2,3),,(1,3,2),,(1,4,1)rsubsetR^3
Precisamos usar conceitos de dependência linear para encontrar uma base de F e sua dimensão.

Passo 2

Denote
v1=(1,2,3), v2=(1,3,2), v3=(1,4,1)
Calculemos as diferenças
v2-v1=(0,1,-1), v3-v2=(0,1,-1)
Da segunda igualdade segue
v3 = v2 + (v2 - v1) = 2v2 - v1,
ou seja, v3 é combinação linear de v1 e v2.

Passo 3

Como v3 depende linearmente de v1 e v2, o conjunto v1,v2,v3 não é independente. Logo o posto de F é
dim F = 2

Passo 4

Basta então escolher dois vetores independentes para formar uma base. Por exemplo, v1 e v2 são independentes porque nenhum é múltiplo escalar do outro. Assim
(1,2,3),,(1,3,2)
é uma base de F.

Resposta

Uma base de F é (1,2,3),,(1,3,2) e dim F = 2.

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