Determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial F nos seguintes casos:
F=(x1, x2, x3, x4, x5, x6): x2=x4=x6 subset R^6.

Passo 1

O subespaço FsubsetR^6 é dado por
F=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)colon x2=x4=x6
Aqui temos duas equações lineares independentes ( x2-x4=0 e x4-x6=0), de modo que dim(F)=6-2. Vamos então encontrar uma representação paramétrica de F para extrair uma base.

Passo 2

Das condições x2=x4=x6 introduzimos o parâmetro tinR tal que
x2=x4=x6=t
Os demais componentes (x1,x3,x5) ficam livres. Logo um vetor genérico de F é
(x1,x2,x3,x4,x5,x6) =(x1,t,x3,t,x5,t)

Passo 3

Escrevendo em forma de combinação linear temos
(x1,t,x3,t,x5,t) =x1,(1,0,0,0,0,0) +x3,(0,0,1,0,0,0) +x5,(0,0,0,0,1,0) +t,(0,1,0,1,0,1)

Passo 4

Os quatro vetores
(1,0,0,0,0,0), (0,0,1,0,0,0), (0,0,0,0,1,0), (0,1,0,1,0,1)
são linearmente independentes e geram F. Como temos quatro vetores numa base,
dim(F)=4.

Resposta

Uma base de F é
(1,0,0,0,0,0),;(0,0,1,0,0,0),;(0,0,0,0,1,0),;(0,1,0,1,0,1),
e dim(F)=4.

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