Determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial nos seguintes casos: .
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço gerado pelos vetores
O que precisamos é determinar quais desses vetores são linearmente independentes (para formar uma base) e, a partir disso, achar a dimensão de .
Passo 2
Para testar independência linear, montamos o sistema
ou seja
Isso vira a matriz dos coeficientes:
1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2
Passo 3
Fazendo eliminação de Gauss na matriz
1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 ,
subtraímos a linha 1 de linha 2 e de linha 3:
1 & 1 & 2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0
Vemos dois pivôs (colunas 1 e 2) e uma linha nula. Logo o posto é 2, indicando que exatamente dois vetores são independentes.
Passo 4
Como os pivôs aparecem nas colunas correspondentes a v1 e v2, esses dois vetores são linearmente independentes. O vetor v3 pode ser expresso em função de v1 e v2. De fato, basta resolver