Determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial F nos seguintes casos:
F=[(1,1,1),(1,2,1),(2,1,2)] subset R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço FsubsetR^3 gerado pelos vetores
v1=(1,1,1), v2=(1,2,1), v3=(2,1,2)
O que precisamos é determinar quais desses vetores são linearmente independentes (para formar uma base) e, a partir disso, achar a dimensão de F.

Passo 2

Para testar independência linear, montamos o sistema
alpha1,v1+alpha2,v2+alpha3,v3=0,
ou seja
alpha1 111 +alpha2 121 +alpha3 212 = 000
Isso vira a matriz dos coeficientes:
1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2

Passo 3

Fazendo eliminação de Gauss na matriz
1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 ,
subtraímos a linha 1 de linha 2 e de linha 3:
1 & 1 & 2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0
Vemos dois pivôs (colunas 1 e 2) e uma linha nula. Logo o posto é 2, indicando que exatamente dois vetores são independentes.

Passo 4

Como os pivôs aparecem nas colunas correspondentes a v1 e v2, esses dois vetores são linearmente independentes. O vetor v3 pode ser expresso em função de v1 e v2. De fato, basta resolver
a,v1 + b,v2 = v3
e encontrar a=3, b=-1, mostrando v3=3v1 - v2.

Resposta

Uma base de F é
(1,1,1),,(1,2,1),
e a dimensão de F é 2.

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