a) Determine uma base e a dimensão do subespaço W=[(1,1,-2),(2,4,-3),(4,10,-5)].
b) (1,-1,-3) \in[(1,1,-2),(2,4,-3),(4,10,-5)] ?

Passo 1

O enunciado define o subespaço W\subseteq\mathbb{R}^3 gerado pelos vetores (1,1,-2), (2,4,-3) e (4,10,-5). Precisamos encontrar uma base de W e sua dimensão, e depois verificar se o vetor (1,-1,-3) pertence a W. Para isso vamos usar eliminação de Gauss para determinar independência linear e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Colocamos os geradores de W como colunas de uma matriz e aplicamos eliminação:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 1 & 4 & 10\\\\ -2 & -3 & -5 \end{pmatrix} \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 0 & 2 & 6\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 0 & 2 & 6\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Nas duas primeiras operações fizemos R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3+2R_1, depois R_3\leftarrow R_3-\tfrac12R_2.

Passo 3

Do resultado vemos que o posto (rank) de A é 2, com pivôs nas colunas 1 e 2. Isso significa que os vetores (1,1,-2) e (2,4,-3) são linearmente independentes e geram todo W. Logo
\text{base de }W=\bigl\{(1,1,-2),\,(2,4,-3)\bigr\}, \quad \dim(W)=2.

Passo 4

Para verificar se (1,-1,-3)\in W, buscamos constantes c_1,c_2 tais que
c_1\,(1,1,-2)+c_2\,(2,4,-3)=(1,-1,-3).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_1+2c_2=1,\\\ c_1+4c_2=-1,\\\\ -2c_1-3c_2=-3. \end{cases}

Passo 5

Subtraindo a primeira equação da segunda vem
2c_2=-2\quad\Longrightarrow\quad c_2=-1.
Então da primeira equação
c_1+2(-1)=1\quad\Longrightarrow\quad c_1=3.
E a terceira equação confere:
-2\cdot3-3\cdot(-1)=-6+3=-3.
Portanto existe solução (c_1,c_2)=(3,-1), e (1,-1,-3) pertence a W.

Resposta

a) Uma base de W é \{(1,1,-2),\,(2,4,-3)\} e \dim(W)=2.
b) Sim. De fato
(1,-1,-3)=3\,(1,1,-2)\;-\;1\,(2,4,-3),
logo (1,-1,-3)\in W.

Exercícios relacionados