a) Determine uma base e a dimensão do subespaço W=[(1,1,-2),(2,4,-3),(4,10,-5)].
b) (1,-1,-3) \in[(1,1,-2),(2,4,-3),(4,10,-5)] ?
Passo 1
O enunciado define o subespaço W\subseteq\mathbb{R}^3 gerado pelos vetores (1,1,-2), (2,4,-3) e (4,10,-5). Precisamos encontrar uma base de W e sua dimensão, e depois verificar se o vetor (1,-1,-3) pertence a W. Para isso vamos usar eliminação de Gauss para determinar independência linear e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Colocamos os geradores de W como colunas de uma matriz e aplicamos eliminação:
Nas duas primeiras operações fizemos R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3+2R_1, depois R_3\leftarrow R_3-\tfrac12R_2.
Passo 3
Do resultado vemos que o posto (rank) de A é 2, com pivôs nas colunas 1 e 2. Isso significa que os vetores (1,1,-2) e (2,4,-3) são linearmente independentes e geram todo W. Logo
\text{base de }W=\bigl\{(1,1,-2),\,(2,4,-3)\bigr\}, \quad \dim(W)=2.
Passo 4
Para verificar se (1,-1,-3)\in W, buscamos constantes c_1,c_2 tais que