Esboçar o gráfico das cônicas:
-\frac{(x-4)^{2}}{4}+\frac{(y-5)^{2}}{9}=1

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva dada por
-\frac{(x-4)^{2}}{4}+\frac{(y-5)^{2}}{9}=1.
Isto é conteúdo de seções cônicas, mais especificamente uma hipérbole. Para desenhá-la, vamos reescrever na forma padrão, identificar centro, eixos, vértices e assíntotas, e só então traçar os ramos.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, basta inverter o sinal da primeira parcela e colocar o termo com (y-5)^2 em primeiro lugar:
\frac{(y-5)^{2}}{9}\;-\;\frac{(x-4)^{2}}{4}\;=\;1.
Esta é a forma canônica de uma hipérbole com eixo transverso vertical.

Passo 3

Comparando com
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} \;=\;1,
vemos que
(h,k)=(4,5),\quad a^{2}=9\;\Rightarrow\;a=3,\quad b^{2}=4\;\Rightarrow\;b=2.
Logo o centro da hipérbole é (4,5) e o eixo transverso é vertical.

Passo 4

Os vértices ficam a uma distância a ao longo do eixo y:
\bigl(4,\,5+3\bigr)=(4,8), \quad \bigl(4,\,5-3\bigr)=(4,2).

Passo 5

Para as assíntotas, desenhamos o retângulo auxili ar de semi-eixos b na horizontal e a na vertical, cujos vértices são (4\pm2,\,5\pm3). As retas que passam pelo centro e pelos cantos deste retângulo têm inclinações \pm a/b=\pm3/2, ou seja, as assíntotas são
y-5 = \frac{3}{2}\,(x-4) \quad\text{e}\quad y-5 = -\frac{3}{2}\,(x-4).

Passo 6

Para esboçar:
  1. Marque o centro (4,5).
  2. Desenhe os vértices (4,8) e (4,2).
  3. Trace o retângulo auxiliar cujos cantos são (6,8),(6,2),(2,8),(2,2).
  4. Desenhe as retas-assíntotas y-5=\pm\frac{3}{2}(x-4).
  5. Finalmente, esboce os dois ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Centro: (4,5)
Vértices: (4,8) e (4,2)
Assíntotas:
y-5 = \frac{3}{2}(x-4), \quad y-5 = -\frac{3}{2}(x-4)
Hipérbole com eixo transverso vertical.

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