Exercício 5.12.12. Dada a matriz
ortogonal de ordem
, estabelecer quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais falsas (motivando a resposta)::
a)
;
b)
;
c)
è ortogonal
;
d)
è ortogonal;
e)
è ortogonal.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
ortogonal, isto é, satisfaz
Precisamos decidir quais das afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, usando as propriedades de matrizes ortogonais (determinante, produto, inversa, etc.).
Passo 2
Uma propriedade básica de matrizes ortogonais é
Dessa forma já podemos analisar as afirmações sobre
.
Passo 3
(a) Afirma que
.
Como acabamos de ver só pode ser
ou
, não pode ser
.
Logo, (a) é falsa.
Como acabamos de ver
Logo, (a) é falsa.
Passo 4
(b) Afirma que
.
Se , então
de fato.
Logo, (b) é verdadeira.
Se
Logo, (b) é verdadeira.
Passo 5
(c) Afirma que
é ortogonal para todo
.
Como o produto de matrizes ortogonais é ortogonal, temos
Como o produto de matrizes ortogonais é ortogonal, temos
Logo, (c) é verdadeira.
Passo 6
(d) Afirma que
é ortogonal.
Verifique
Verifique
Logo, (d) é verdadeira.
Passo 7
(e) Afirma que
é ortogonal.
Para matriz ortogonal já se sabe que
Para matriz ortogonal já se sabe que
e portanto
Logo, (e) é verdadeira.
Resposta
a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Verdadeira