Exercício 5.12.12. Dada a matriz A ortogonal de ordem n, estabelecer quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais falsas (motivando a resposta)::
a) \operatorname{det} A=2;
b) |\operatorname{det} A|=1;
c) A^{n} è ortogonal \forall n \in \mathbb{N};
d) -A è ortogonal;
e) A^{-1} è ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem n ortogonal, isto é, satisfaz
A^{T}A = I_n.
Precisamos decidir quais das afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, usando as propriedades de matrizes ortogonais (determinante, produto, inversa, etc.).

Passo 2

Uma propriedade básica de matrizes ortogonais é
\det A = \pm 1.
Dessa forma já podemos analisar as afirmações sobre \det A.

Passo 3

(a) Afirma que \det A = 2.
Como acabamos de ver \det A só pode ser +1 ou -1, não pode ser 2.
Logo, (a) é falsa.

Passo 4

(b) Afirma que \lvert \det A\rvert = 1.
Se \det A = \pm 1, então \lvert \det A\rvert = 1 de fato.
Logo, (b) é verdadeira.

Passo 5

(c) Afirma que A^{n} é ortogonal para todo n\in\mathbb{N}.
Como o produto de matrizes ortogonais é ortogonal, temos
(A^{n})^{T}A^{n}=(A^{T})^{n}A^{n} =(A^{T}A)^{n}=I_n^{\,n}=I_n.
Logo, (c) é verdadeira.

Passo 6

(d) Afirma que -A é ortogonal.
Verifique
(-A)^{T}(-A)=(-1\,A^{T})(-1\,A)=A^{T}A=I_n.
Logo, (d) é verdadeira.

Passo 7

(e) Afirma que A^{-1} é ortogonal.
Para matriz ortogonal já se sabe que
A^{-1}=A^{T}
e portanto
(A^{-1})^{T}A^{-1}=A\,A^{T}=I_n.
Logo, (e) é verdadeira.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Verdadeira

Exercícios relacionados