Exercício 5.12.11. Dadas duas matrizes
e
ortogonais de ordem
, estabelecer quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais falsas (motivando a resposta):
a) se
, então
è ortogonal;
b)
è ortogonal;
c)
è ortogonal.
a) se
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
ortogonais de ordem
. Queremos verificar se as matrizes abaixo são também ortogonais, usando a definição de matriz ortogonal:
Passo 2
Analisando
com
:
Para que seja ortogonal, precisamos de
, ou seja,
. Como isso vale somente para
, em geral
não é ortogonal.
Passo 3
Analisando o produto
:
pois
e
são ortogonais. Logo,
é sempre ortogonal.
Passo 4
Analisando
: não há uma relação que garanta
Por exemplo, se
e
então
e
Logo, em geral
não é ortogonal.
Resposta
a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa