Exercício 5.12.11. Dadas duas matrizes A e B ortogonais de ordem n, estabelecer quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais falsas (motivando a resposta):
a) se a \in \mathbb{R}, então a A è ortogonal;
b) A \cdot B è ortogonal;
c) A+B è ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes \!A e \!B ortogonais de ordem n. Queremos verificar se as matrizes abaixo são também ortogonais, usando a definição de matriz ortogonal:
M^T M = I_n.

Passo 2

Analisando aA com a\in\mathbb{R}:
(aA)^T(aA)=a^2\,A^T A=a^2 I_n.
Para que seja ortogonal, precisamos de a^2 I_n=I_n, ou seja, a^2=1. Como isso vale somente para a=\pm1, em geral aA não é ortogonal.

Passo 3

Analisando o produto AB:
(AB)^T(AB)=B^T A^T A B=B^T I_n B=B^T B=I_n,
pois A e B são ortogonais. Logo, AB é sempre ortogonal.

Passo 4

Analisando A+B: não há uma relação que garanta
(A+B)^T(A+B)=I_n.
Por exemplo, se A=I_n e B=I_n então A+B=2I_n e
(2I_n)^T(2I_n)=4I_n\neq I_n.
Logo, em geral A+B não é ortogonal.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa

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