Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre . Determine se são linearmente independentes ou linearmente dependentes: ;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os polinômios , e
são linearmente independentes em , o espaço dos polinômios de grau .
Para isso, vamos usar a base canônica
e testar se a única solução de
é .
Passo 2
Escrevendo cada polinômio como vetor de coeficientes na ordem temos
A igualdade gera o sistema
Passo 3
Da primeira equação alpha = -beta - 2gamma.
Substituindo em -4alpha + 2beta - gamma = 0
vem
Então alpha=-(-tfrac76gamma)-2gamma=tfrac76gamma-2gamma=-tfrac56gamma
Nas terceira e quarta equações aparecem fatores gamma que só se anulam se gamma=0. Daí beta=0 e alpha=0.
Passo 4
Como a única solução do sistema é alpha=beta=gamma=0, concluímos que não existe combinação linear não trivial entre u,v,w. Portanto são linearmente independentes.
Resposta
Os polinômios u,v,w são linearmente independentes.