Seja V o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre R. Determine se u, v, w in V são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
u=t^3-4 t^2+2 t+3, v=t^3+2 t^2+4 t-1, w=2 t^3-t^2-3 t+5;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os polinômios
u(t)=t^3-4t^2+2t+3,
v(t)=t^3+2t^2+4t-1 e
w(t)=2t^3-t^2-3t+5
são linearmente independentes em V, o espaço dos polinômios de grau <=3.
Para isso, vamos usar a base canônica
t^3,,t^2,,t,,1
e testar se a única solução de
alpha,u+beta,v+gamma,w=0
é alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevendo cada polinômio como vetor de coeficientes na ordem (t^3,t^2,t,1) temos
usim(1,,-4,,2,,3), vsim(1,,2,,4,,-1), wsim(2,,-1,,-3,,5)
A igualdade alpha,u+beta,v+gamma,w=0 gera o sistema
alpha + beta + 2gamma = 0, -4alpha + 2beta - gamma = 0, 2alpha + 4beta -3gamma = 0, 3alpha - beta +5gamma = 0

Passo 3

Da primeira equação
alpha = -beta - 2gamma.
Substituindo em
-4alpha + 2beta - gamma = 0
vem
-4(-beta-2gamma)+2beta-gamma=0 ;Rightarrow;6beta+7gamma=0 ;Rightarrow;beta=-tfrac76gamma
Então
alpha=-(-tfrac76gamma)-2gamma=tfrac76gamma-2gamma=-tfrac56gamma
Nas terceira e quarta equações aparecem fatores gamma que só se anulam se gamma=0. Daí beta=0 e alpha=0.

Passo 4

Como a única solução do sistema é alpha=beta=gamma=0, concluímos que não existe combinação linear não trivial entre u,v,w. Portanto são linearmente independentes.

Resposta

Os polinômios u,v,w são linearmente independentes.

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