1. Determine uma base do espaço próprio associado a cada autovalor da matriz C=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do espaço próprio (eigenspace) de cada autovalor da matriz
C = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico e depois determinação dos autovetores como solução de (C - \lambda I)x = 0.]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de C. Temos
\det(C - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\[4pt]0 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)\,(1-\lambda) = (1-\lambda)^2.
Daqui segue que o único autovalor é
\lambda = 1,
com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Para achar o espaço próprio de \lambda=1, resolvemos
(C - I)\,x = 0, \quad C - I = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Se x = \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}, a equação dá
\begin{cases} 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 = 0,\\\\ 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x_2 = 0,\;x_1\\ \text{livre}.
Logo o espaço próprio é
E_1 = \big\{(x_1,0) : x_1\in\mathbb{R}\big\} = \operatorname{Span}\{(1,0)\}.]

Resposta

Uma base do espaço próprio correspondente ao único autovalor \lambda=1 é
\{(1,0)\}.

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