Verifique se as seguintes matrizes são diagonalizáveis:
A=\left[\begin{array}{ll}5 & 4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}5 & 4\\[6pt]1 & 2\end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é diagonalizável. Para isso, precisamos achar os valores próprios de A (raízes do polinômio característico) e verificar se existem dois autovetores linearmente independentes em \mathbb R^2.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}5-\lambda & 4\\[4pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(2-\lambda)-4\cdot1
\phantom{\det(A-\lambda I)}=(5-\lambda)(2-\lambda)-4 =\lambda^2-7\lambda+6.]

Passo 3

Resolvendo \lambda^2-7\lambda+6=0, obtemos
\lambda_1=1 \quad\text{e}\quad \lambda_2=6.
Como os dois valores próprios são distintos, devemos ter dois autovetores independentes.

Passo 4

Para \lambda_1=1, resolvemos (A-I)v=0:
\begin{pmatrix}5-1 & 4\\[4pt]1 & 2-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 4\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0
daqui vem 4x+4y=0, i.e.\ y=-x. Podemos escolher
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=6, resolvemos (A-6I)v=0:
\begin{pmatrix}5-6 & 4\\[4pt]1 & 2-6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt]1 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0
daqui vem -x+4y=0, i.e.\ x=4y. Podemos escolher
v_2 = \begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.
Os vetores v_1 e v_2 são claramente linearmente independentes.]

Passo 5

Tendo dois autovalores distintos e dois autovetores independentes, podemos formar uma base de autovetores em \mathbb R^2. Logo, A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável.

Exercícios relacionados