Determine uma base para o espaço solução do sistema homogêneo
cccccc x1 & -2 x2 & +3 x3 & -7 x4 & +x5 & =0 & 4 x2 & -x3 & & +2 x5 & =0 & & & x4 & & =0
Ele é subespaço de que espaço R^n? Qual é a dimensão deste subespaço?

Passo 1

O enunciado pede o espaço solução de um sistema homogêneo de 3 equações lineares em 5 incógnitas. O conteúdo é sistemas lineares; vamos usar eliminação de Gauss para identificar variáveis pivô e livres e depois parametrizar a solução.

Passo 2

Da terceira equação obtemos
x4=0,
logo x4 é uma variável pivô.

Passo 3

A segunda equação é
4x2-x3+2x5=0
Isolando x2 em função de x3 e x5, vem
x2=x34-x52

Passo 4

A primeira equação é
x1-2x2+3x3-7x4+x5=0
Substituindo x2=tfracx34-tfracx52 e x4=0, obtemos
x1 =2l(x34-x52r)-3x3-x5 =-52x3-2x5

Passo 5

Definimos parâmetros livres a e b por
x3=4a, x5=2b
Então
x2=a-b, x1=-10a-4b, x4=0
Logo o vetor genérico da solução é
(x1,x2,x3,x4,x5) = a,(-10,1,4,0,0) + b,(-4,-1,0,0,2)
Portanto uma base do espaço solução é
l;(-10,1,4,0,0),;(-4,-1,0,0,2)r

Passo 6

O espaço solução está contido em R^5 e tem exatamente dois vetores na base, logo sua dimensão é 2.

Resposta

Base: (-10,1,4,0,0),,(-4,-1,0,0,2).\n\u00c9 subespa\u00e7o de R^5.\nA dimens\u00e3o do subespa\u00e7o \u00e9 2.

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