Exiba uma base para o subespaço
abaixo e diga qual é a sua dimensão. Se a dimensão for menor que 3 , complete a base para uma base de
.
Passo 1
O enunciado define
Queremos encontrar uma base de
W , determinar sua dimensão e, se essa dimensão for menor que 3, completar a base até uma base de
R^3 .
Passo 2
Escrevemos um vetor genérico de
W como combinação linear de parâmetros:
Isto mostra que
W=spanu1,u2,u3 com
Passo 3
Para ver se esses três geradores são independentes, montamos a matriz cujas colunas são
u1,u2,u3 :
Passo 4
Calculamos
det(M) :
Como
det(M)=0 , os três vetores são linearmente dependentes.
Passo 5
Sabendo disso, escolhemos dois deles que não sejam múltiplos um do outro, por exemplo
Verifica-se facilmente que não existe
lambda tal que
u2=lambda u1 . Logo
é uma base de
W e
Passo 6
Para completar até uma base de
R^3 , basta escolher um vetor fora do span de
u1,u2 . Por exemplo,
não pode ser escrito como combinação de
u1 e
u2 (basta tentar resolver
c1u1+c2u2=v e ver que não há solução). Assim
é uma base de
R^3 .
Resposta
Uma base de
W é
Completando para