Exiba uma base para o subespaço W abaixo e diga qual é a sua dimensão. Se a dimensão for menor que 3 , complete a base para uma base de R^3.
W=(c alpha+beta-gamma alpha+2 beta alpha+3 beta+gamma ) rvert, alpha, beta, gamma in R

Passo 1

O enunciado define
W= alpha+beta-gamma alpha+2beta alpha+3beta+gamma mid alpha,beta,gammainR
Queremos encontrar uma base de W, determinar sua dimensão e, se essa dimensão for menor que 3, completar a base até uma base de R^3.

Passo 2

Escrevemos um vetor genérico de W como combinação linear de parâmetros:
alpha+beta-gamma alpha+2beta alpha+3beta+gamma =alpha111 +beta123 +gamma-101
Isto mostra que W=spanu1,u2,u3 com
u1=111, u2=123, u3=-101

Passo 3

Para ver se esses três geradores são independentes, montamos a matriz cujas colunas são u1,u2,u3:
M= 1 & 1 & -1 1 & 2 & 0 1 & 3 & 1

Passo 4

Calculamos det(M):
det(M) =1cdotdet2&03&1 -1cdotdet1&01&1 +(-1)cdotdet1&21&3 =1cdot(2)-1cdot(1)+(-1)cdot(1) =2-1-1=0
Como det(M)=0, os três vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Sabendo disso, escolhemos dois deles que não sejam múltiplos um do outro, por exemplo
u1=111, u2=123
Verifica-se facilmente que não existe lambda tal que u2=lambda u1. Logo
BW=u1,u2
é uma base de W e
dim(W)=2<3

Passo 6

Para completar até uma base de R^3, basta escolher um vetor fora do span de u1,u2. Por exemplo,
v=001
não pode ser escrito como combinação de u1 e u2 (basta tentar resolver c1u1+c2u2=v e ver que não há solução). Assim
BR^3=,u1,u2,v
é uma base de R^3.

Resposta

Uma base de W é
BW=111,,123,
dim(W)=2.
Completando para R^3, uma base é
BR^3=111,,123,,001

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