Determine a equação dos subespaços:
\left\{1+t+t^{2}, 1-t, 1+2 t^{2}\right\} \subseteq P_{2}

Passo 1

O enunciado pede para descrever o subespaço de P_{2} gerado pelos polinômios
p_{1}(t)=1+t+t^{2},\quad p_{2}(t)=1-t,\quad p_{3}(t)=1+2t^{2}.
Vamos trabalhar em coordenadas no espaço \{a+bt+ct^{2}\mid a,b,c\in\mathbb{R}\} e verificar se esses três vetores são independentes.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de cada p_{i} na base \{1,t,t^{2}\}:
p_{1}\sim(1,1,1),\quad p_{2}\sim(1,-1,0),\quad p_{3}\sim(1,0,2).
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&-1\\\ 1&0\end{pmatrix} =-2-2+1=-3\neq0.
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Três vetores independentes em um espaço de dimensão 3 geram todo o espaço. Logo
\Span\{p_{1},p_{2},p_{3}\}=P_{2}.

Resposta

O subespaço gerado pelos polinômios dados é todo P_{2}, ou seja,
\{a+bt+ct^{2}\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}.

Exercícios relacionados