Determine a equação dos subespaços:
\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\ -1 & -1\end{array}\right)\right\} \subseteq M_{2 \times 2}

Passo 1

O enunciado pede para achar a equação (restrição linear) do subespaço
\mathrm{Span}\bigl\{A,B,C\bigr\}\subseteq M_{2\times2}(\mathbb{R}),
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & -1\end{pmatrix}.
Vamos representar um elemento genérico deste subespaço como combinação linear de A,B,C.

Passo 2

Seja
X = \alpha A + \beta B + \gamma C,
com \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}. Então calculamos cada entrada de X:
X_{11} = \alpha + \beta + \gamma,\quad X_{12} = \alpha - \beta + \gamma,
X_{21} = \alpha + 0\cdot\beta - \gamma = \alpha - \gamma, \quad X_{22} = \alpha - \gamma.

Passo 3

Da expressão de X_{21} e X_{22} vemos que, para todo X no subespaço, vale
X_{21} = X_{22}.
Isso significa que a única restrição linear sobre uma matriz
\begin{pmatrix}x & y\z & w\end{pmatrix}
para pertencer ao subespaço é
z - w = 0.

Resposta

O subespaço gerado por A,B,C é dado por
\Bigl\{\begin{pmatrix}x & y\z & w\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \;\Big|\; z = w\Bigr\},
isto é, a equação do subespaço é
z - w = 0.

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