Determine uma base para os espaços vetoriais:
V=>=r(2,1,2),(-3,4,1),(4,2,4)

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V = >=r(2,1,2),,(-3,4,1),,(4,2,4).
Para encontrar uma base, precisamos verificar quais desses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Montamos a combinação linear
a,(2,1,2) + b,(-3,4,1) + c,(4,2,4) = (0,0,0)
que equivale ao sistema
2a - 3b + 4c = 0 a + 4b + 2c = 0 2a + b + 4c = 0

Passo 3

Multiplica a segunda equação por 2 e subtrai da primeira para eliminar a. Isso dá
11b = 0
logo b = 0. Substituindo em a + 4b + 2c = 0 vem
a + 2c = 0
ou seja, a = -2c. A terceira equação se verifica automaticamente com esses valores.

Passo 4

Escolhendo c = 1, temos a = -2 e b = 0, então
-2,(2,1,2) + 1,(4,2,4) = (0,0,0),
isto é,
(4,2,4) = 2,(2,1,2)
Com isso, (4,2,4) é dependente e pode ser removido, restando os vetores (2,1,2) e (-3,4,1), que são independentes.

Resposta

Uma base para V é
(2,1,2),,(-3,4,1)

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