Determine as coordenadas de v=(2,1,3) em relação à base alpha=(1,4,2),(-2,3,1),(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor vec v=(2,1,3) como combinação linear dos vetores da base alpha=u1=(1,4,2),,u2=(-2,3,1),,u3=(0,1,1). Isso significa achar escalares c1,c2,c3 tais que
c1,u1 + c2,u2 + c3,u3 = vec v
Precisamos apenas montar e resolver o sistema linear associado.

Passo 2

Escrevendo a combinação em coordenadas, temos
c1(1,4,2) + c2(-2,3,1) + c3(0,1,1) = (2,1,3)
Isso gera o sistema
c1 -2c2 +0c3 = 2, 4c1 +3c2 +c3 = 1, 2c1 +c2 +c3 = 3

Passo 3

Da primeira equação isolamos
c1 = 2 + 2c2

Passo 4

Substituímos c1 nas outras duas equações:
na segunda
4(2+2c2)+3c2 + c3 = 1 Longrightarrow 11c2 + c3 = -7,
e na terceira
2(2+2c2)+c2 + c3 = 3 Longrightarrow 5c2 + c3 = -1

Passo 5

Subtraindo a última equação da penúltima, eliminamos c3:
(11c2 + c3) - (5c2 + c3) = -7 - (-1) Longrightarrow 6c2 = -6 Longrightarrow c2 = -1

Passo 6

Com c2=-1, voltamos em 5c2 + c3 = -1:
5(-1) + c3 = -1 Longrightarrow c3 = 4
E então de c1 = 2 + 2c2:
c1 = 2 + 2(-1) = 0

Resposta

As coordenadas de vec v na base alpha são (c1,c2,c3) = (0,-1,4).

Exercícios relacionados