Determine uma matriz quadrada de ordem 3 cujo espaço nulo seja de:
dimensão 0 .

Passo 1

O enunciado pede uma matriz quadrada 3times3 cujo espaço nulo (ou núcleo) tenha dimensão zero.
Conteúdo: teoria do núcleo de uma transformação linear e Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity).

Passo 2

Lembrando que o espaço nulo de uma matriz A é
ker(A)=xinR^3 mid A,x=0,
e sua dimensão é chamada de nulidade de A. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, para uma matriz 3times3 vale
rank(A)+dimker(A)=3
Se queremos dimker(A)=0, então rank(A)=3, ou seja, A deve ser invertível (determinante não nulo).

Passo 3

Basta, portanto, exibir qualquer matriz invertível de ordem 3. A mais simples é a matriz identidade, pois
I3= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
é invertível (det ,I3=1neq0) e satisfaz
I3,x=0 Longrightarrow x=0,
logo ker(I3)=0 e dimker(I3)=0.

Resposta

A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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