Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são injetivas.
A: R^{2} \rightarrow R^{2}, A(x, y)=(x-y, x-y)
A: R^{2} \rightarrow R^{2}, A(x, y)=(x-y, x-y)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede (i) uma base de
e (ii) verificar se
é injetiva.
Passo 2
Escrevemos
na base canônica de
. A matriz associada é
As colunas dessa matriz geram
.
Passo 3
As colunas são
Como
, todos os vetores da imagem estão em
. Portanto
e uma base conveniente é
Passo 4
Pelo Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) vale
logo
. Assim,
não é injetiva.
Resposta
Base de
:
.
não é injetiva.