Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são injetivas.
A: R^{2} \rightarrow R^{2}, A(x, y)=(x-y, x-y)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
A\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\qquad A(x,y) = (x - y,\;x - y),
e pede (i) uma base de \mathrm{Im}(A) e (ii) verificar se A é injetiva.

Passo 2

Escrevemos A na base canônica de \mathbb{R}^2. A matriz associada é
A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
As colunas dessa matriz geram \mathrm{Im}(A).

Passo 3

As colunas são
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\end{pmatrix}.
Como v_2 = -\,v_1, todos os vetores da imagem estão em \mathrm{span}\{v_1\}. Portanto
\mathrm{Im}(A) = \mathrm{span}\{(1,1)\},
e uma base conveniente é
\{(1,1)\}.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) vale
\dim(\mathrm{Im}(A)) = 1 < 2 = \dim(\mathbb{R}^2),
logo \dim(\ker(A)) = 1\neq 0. Assim, A não é injetiva.

Resposta

Base de \mathrm{Im}(A): \{(1,1)\}.
A não é injetiva.

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