A transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} associa a cada vetor u de R^{3} o produto vetorial a \times u. Determine a matriz de T, com respeito à base canônica de R^{3}:
(A) \left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(u)=a\times u
em relação à base canônica. Supondo que o vetor fixo seja a=(1,0,1), nosso objetivo é encontrar a matriz de T nessa base.

Passo 2

Lembrando a fórmula do produto vetorial, para a=(a_1,a_2,a_3) e u=(u_1,u_2,u_3) temos
a\times u =\bigl(a_2u_3 - a_3u_2,\;a_3u_1 - a_1u_3,\;a_1u_2 - a_2u_1\bigr).
Daí a matriz de T é
M=\begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\\ a_3 & 0 & -a_1\\\\ -\,a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Substituindo a_1=1, a_2=0 e a_3=1 em M, obtemos
M=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Comparando com as matrizes dadas nas alternativas, vemos que corresponde exatamente à alternativa (A).

Resposta

(A)

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