Seja T uma transformação linear de R^{2} em R^{2} tal que T(u)= ( 1,2) e T(v)=(0,3), onde uev são vetores de R^{2}. Sendo a e b reais não nulos, tem-se que \mathrm{T}(\mathrm{au}+\mathrm{bv}) é igual a:
a) (- a, 2 a+3 b )
b) (- a+2b, 3b)
c) (- b, 2b+3a)
d) (- b+2a, 3a)
e) (- a, 5b)

Passo 1

O enunciado diz que T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear, que
T(u) = (1,2), \qquad T(v) = (0,3),
e pede T(a\,u + b\,v) para a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. O conteúdo usado é a propriedade de linearidade:
T(\alpha x + \beta y)=\alpha\,T(x)+\beta\,T(y).

Passo 2

Pela linearidade,
T(a\,u + b\,v) = a\,T(u) + b\,T(v).

Passo 3

Substituindo T(u) e T(v), temos
a\,T(u) + b\,T(v) = a\,(1,2) + b\,(0,3).
Isso dá, coordenada a coordenada,
(a\cdot1 + b\cdot0,\;a\cdot2 + b\cdot3) =(a,\;2a+3b).

Passo 4

Comparando com as alternativas:
a) (-a,\;2a+3b)
b) (-a+2b,\;3b)
c) (-b,\;2b+3a)
d) (-b+2a,\;3a)
e) (-a,\;5b)
Nenhuma delas coincide com (a,2a+3b).

Resposta

T(a\,u + b\,v) = (a,\;2a+3b),
que não aparece entre as alternativas fornecidas.

Exercícios relacionados