Determine uma base da interseção dos subespaços
S_{1}=\{(x, y, z) \mid x+y+z=0\}, \quad S_{2}=\{(x, y, z) \mid x-y=0\} .

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma base do subespaço que é a interseção de dois subespaços de \mathbb{R}^3. As informações dadas são:
  • S_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\}.
  • S_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-y=0\}.
A pergunta concreta é: encontrar um conjunto de vetores que forme base do subespaço S_{1}\cap S_{2}.

Passo 2

Vamos traduzir a interseção S_{1}\cap S_{2}\) para um sistema de equações: um vetor \((x,y,z)\) pertence a \(S_{1}\cap S_{2}\) quando satisfaz simultaneamente \[\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] x-y=0. \end{cases}
A segunda equação dá uma informação direta e simples: (x-y=0] implica
x=y.
Isto é, em qualquer vetor da interseção as duas primeiras coordenadas são iguais. (Relax: isso já reduz bastante a conta!)]

Passo 3

Substituímos y=x na primeira equação x+y+z=0. Fazendo a substituição obtemos
x + x + z = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x + z = 0.
Isolando z em função de x:
z = -2x.
Portanto qualquer vetor da interseção tem a forma
(x,y,z) = (x,\,x,\,-2x).

Passo 4

Parametrizamos com um parâmetro livre t\in\mathbb{R} definindo t:=x. Assim
(x,y,z)=(t,\,t,\,-2t)=t(1,1,-2).
Isto mostra que o conjunto S_{1}\cap S_{2} é exatamente o conjunto dos múltiplos escalares do vetor (1,1,-2), ou seja
S_{1}\cap S_{2}=\operatorname{span}\{(1,1,-2)\}.

Passo 5

Agora precisamos verificar que \{(1,1,-2)\} é uma base do subespaço encontrado. Lembrete rápido do que é uma base:
  • Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que gera o subespaço (spanning) e que é linearmente independente.
Geração: já mostramos que qualquer vetor da interseção é t(1,1,-2) para algum t, então \{(1,1,-2)\} gera S_{1}\cap S_{2}.
Independência linear: um único vetor não nulo é sempre linearmente independente porque, se a(1,1,-2)=(0,0,0), então a=0. Aqui (1,1,-2) é não nulo, logo a condição de independência é satisfeita.
Portanto \{(1,1,-2)\} é uma base de S_{1}\cap S_{2}. (Se preferir outra base equivalente, qualquer múltiplo não-nulo de (1,1,-2) também serve; por exemplo \{(1,1,-2)\} é a escolha mais simples.)

Resposta

\{(1,1,-2)\}

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