Determine uma base da interseção dos subespaços
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma base do subespaço que é a interseção de dois subespaços de
. As informações dadas são:
-
. -
.
A pergunta concreta é: encontrar um conjunto de vetores que forme base do subespaço
.
Passo 2
Vamos traduzir a interseção
A segunda equação dá uma informação direta e simples: (x-y=0] implica
Isto é, em qualquer vetor da interseção as duas primeiras coordenadas são iguais. (Relax: isso já reduz bastante a conta!)]
Isto é, em qualquer vetor da interseção as duas primeiras coordenadas são iguais. (Relax: isso já reduz bastante a conta!)]
Passo 3
Substituímos
na primeira equação
. Fazendo a substituição obtemos
Isolando
em função de
:
Portanto qualquer vetor da interseção tem a forma
Passo 4
Parametrizamos com um parâmetro livre
definindo
. Assim
Isto mostra que o conjunto
é exatamente o conjunto dos múltiplos escalares do vetor
, ou seja
Passo 5
Agora precisamos verificar que
é uma base do subespaço encontrado. Lembrete rápido do que é uma base:
- Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que gera o subespaço (spanning) e que é linearmente independente.
Geração: já mostramos que qualquer vetor da interseção é
para algum
, então
gera
.
Independência linear: um único vetor não nulo é sempre linearmente independente porque, se
, então
. Aqui
é não nulo, logo a condição de independência é satisfeita.
Portanto
é uma base de
. (Se preferir outra base equivalente, qualquer múltiplo não-nulo de
também serve; por exemplo
é a escolha mais simples.)