Mostre que todo subespaço de dimensão 1 é gerado por um único vetor não nulo.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que todo subespaço de dimensão 1 é gerado por um único vetor não nulo.
Informações dadas:
  • Tem-se um espaço vetorial (qualquer, não precisamos nomeá-lo) e um subespaço W desse espaço.
  • Sabe-se que \dim(W)=1.
O objetivo concreto: provar que existe um vetor v\in W com v\neq 0 tal que
W=\operatorname{span}\{v\}.

Passo 2

Primeiro fato útil e simples: se \dim(W)=1 então W não é o subespaço nulo. Ou seja, W\neq\{0\}.
Por quê? A dimensão de um espaço é o número de vetores em uma base. Se \dim(W)=1 então existe uma base com exatamente um vetor, logo a base contém um vetor não nulo; assim W contém esse vetor não nulo e portanto não é \{0\}.
Portanto podemos escolher um vetor v\in W com v\neq 0. (Esse é o candidato a gerar W.)

Passo 3

Vou mostrar que o conjunto \{v\} é linearmente independente.
Lembrete: um conjunto \{v\} é linearmente independente quando a única combinação linear \alpha v=0 que dá o vetor nulo tem \alpha=0.
Como v\neq 0, se \alpha v=0 então obrigatoriamente \alpha=0. Logo \{v\} é linearmente independente.

Passo 4

Agora uso a relação entre tamanho de um conjunto linearmente independente e a dimensão.
Teorema usado (explicado de forma direta): em um espaço vetorial de dimensão n qualquer conjunto linearmente independente tem no máximo n vetores. Em particular, em um subespaço com \dim(W)=1 não existe nenhum conjunto linearmente independente com mais de 1 vetor. Portanto, um conjunto linearmente independente com exatamente 1 vetor tem tamanho igual à dimensão de W.
Resultado imediato: como \{v\} é linearmente independente e |\{v\}|=1=\dim(W), segue que \{v\} é uma base de W.
Explicação curta do porquê isso implica que \{v\} gera W: uma base é, por definição, um conjunto linearmente independente que gera o espaço. Logo \operatorname{span}\{v\}=W.
(Se preferir ver por contradição: se \operatorname{span}\{v\}\neq W existiria u\in W fora de \operatorname{span}\{v\}, e então \{v,u\} seria um conjunto linearmente independente com 2 vetores — contradizendo \dim(W)=1.)

Passo 5

Conclusão prática e observação adicional: para qualquer vetor não nulo v\in W vale \operatorname{span}\{v\}=W.
Isto também mostra que todo vetor não nulo de W determina o mesmo subespaço; qualquer outro vetor não nulo u\in W é um múltiplo escalar de v, ou seja existe \alpha\in\mathbb{F} (o corpo dos escalares) tal que u=\alpha v. Assim a geração por um único vetor é única apenas até multiplicação por escalares.

Resposta

Seja W um subespaço com \dim(W)=1. Então existe v\in W, v\neq 0, tal que
W=\operatorname{span}\{v\}.

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