Mostre que todo subespaço de dimensão 1 é gerado por um único vetor não nulo.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que todo subespaço de dimensão
é gerado por um único vetor não nulo.
Informações dadas:
- Tem-se um espaço vetorial (qualquer, não precisamos nomeá-lo) e um subespaço
desse espaço. - Sabe-se que
.
O objetivo concreto: provar que existe um vetor
com
tal que
Passo 2
Primeiro fato útil e simples: se
então
não é o subespaço nulo. Ou seja,
.
Por quê? A dimensão de um espaço é o número de vetores em uma base. Se
então existe uma base com exatamente um vetor, logo a base contém um vetor não nulo; assim
contém esse vetor não nulo e portanto não é
.
Portanto podemos escolher um vetor
com
. (Esse é o candidato a gerar
.)
Passo 3
Vou mostrar que o conjunto
é linearmente independente.
Lembrete: um conjunto
é linearmente independente quando a única combinação linear
que dá o vetor nulo tem
.
Como
, se
então obrigatoriamente
. Logo
é linearmente independente.
Passo 4
Agora uso a relação entre tamanho de um conjunto linearmente independente e a dimensão.
Teorema usado (explicado de forma direta): em um espaço vetorial de dimensão
qualquer conjunto linearmente independente tem no máximo
vetores. Em particular, em um subespaço com
não existe nenhum conjunto linearmente independente com mais de
vetor. Portanto, um conjunto linearmente independente com exatamente
vetor tem tamanho igual à dimensão de
.
Resultado imediato: como
é linearmente independente e
, segue que
é uma base de
.
Explicação curta do porquê isso implica que
gera
: uma base é, por definição, um conjunto linearmente independente que gera o espaço. Logo
.
(Se preferir ver por contradição: se
existiria
fora de
, e então
seria um conjunto linearmente independente com
vetores — contradizendo
.)
Passo 5
Conclusão prática e observação adicional: para qualquer vetor não nulo
vale
.
Isto também mostra que todo vetor não nulo de
determina o mesmo subespaço; qualquer outro vetor não nulo
é um múltiplo escalar de
, ou seja existe
(o corpo dos escalares) tal que
. Assim a geração por um único vetor é única apenas até multiplicação por escalares.
Resposta
Seja
um subespaço com
. Então existe
,
, tal que