Determine se S é uma base do espaço vetorial dado:
S=\{(1,2,0,0),(2,0,-1,0),(3,0,0,4),(0,0,5,0)\} de \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se S é uma base do espaço vetorial \mathbb{R}^{4}.
Os dados fornecidos são os vetores de S:
S=\{\,v_1=(1,2,0,0),\; v_2=(2,0,-1,0),\; v_3=(3,0,0,4),\; v_4=(0,0,5,0)\,\}.
Pergunta explícita: “Será que S é uma base de \mathbb{R}^{4}?”

Passo 2

O que significa ser base — revisão bem prática:
  • Uma coleção de vetores é uma base de \mathbb{R}^{4} se, e somente se, satisfaz duas propriedades: são linearmente independentes e geram (span) todo \mathbb{R}^{4}.
  • Para um conjunto de exatamente quatro vetores em \mathbb{R}^{4} basta verificar uma dessas propriedades: se os quatro vetores forem linearmente independentes então automaticamente geram \mathbb{R}^{4} (pois a dimensão é 4). Assim, no nosso caso é suficiente testar independência linear.
  • Definição de independência linear (em palavras simples): os vetores v_1,\dots,v_4 são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4=0
é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0.
Método escolhido (por que): vou montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e aplicar eliminação de Gauss (ou calcular determinante). Se a matriz tiver posto 4 (ou determinante diferente de zero) então os vetores são independentes e, portanto, formam base.

Passo 3

Montando a matriz A com os vetores como colunas (cada coluna é um vetor de S):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix},
onde a coluna 1 é v_1, coluna 2 é v_2, coluna 3 é v_3 e coluna 4 é v_4.
Observação prática: se \det(A)\neq 0 então as colunas são linearmente independentes. Vou usar eliminação por linhas (operações linha + combinações) para triangularizar A e verificar se obtemos 4 pivôs (ou calcular o determinante pela multiplicação das entradas da diagonal da forma triangular, lembrando que operações do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” não alteram o determinante).]

Passo 4

Aplicando a eliminação passo a passo (cada operação é do tipo R_i \leftarrow R_i + c\cdot R_j, que preserva determinante):
Matriz inicial:
A_0=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar entrada (2,1): R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
A_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -6 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Usar pivot -4 na linha 2 para zerar a entrada (3,2). Fator: \dfrac{-1}{-4}=\dfrac{1}{4}. Fazemos R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{4}R_2.
    Calculemos a linha 3: terceira entrada: 0 - \tfrac{1}{4}\cdot(-6)=0+\tfrac{6}{4}=\tfrac{3}{2}. quarta entrada: 5 - \tfrac{1}{4}\cdot 0=5. A segunda entrada fica zero por construção.
A_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -6 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{3}{2} & 5\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Usar pivot \tfrac{3}{2} na linha 3 para zerar a entrada (4,3). Fator: \dfrac{4}{3/2}=\dfrac{4}{1,5}=\dfrac{8}{3}. Fazemos R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{8}{3}R_3.
    A terceira entrada de R_4 fica 4 - \tfrac{8}{3}\cdot\tfrac{3}{2}=4 - \tfrac{8}{3}\cdot\frac{3}{2}=4-4=0. A quarta entrada fica 0 - \tfrac{8}{3}\cdot 5 = -\tfrac{40}{3}.
A_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -6 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{3}{2} & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac{40}{3} \end{pmatrix}.
Resultado da eliminação: obtivemos uma matriz triangular superior com elementos não nulos na diagonal principal: 1,\\\ -4,\\ \tfrac{3}{2},\\\ -\tfrac{40}{3}. Cada uma dessas entradas corresponde a um pivô — há 4 pivôs — logo o posto de A é 4.]

Passo 5

Cálculo do determinante (as operações usadas não alteraram o determinante, pois foram combinações lineares de linhas):
\det(A)=1\cdot(-4)\cdot\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{40}{3}\right).
Simplificando passo a passo:
\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{40}{3}\right)=-\frac{40}{2}=-20,
1\cdot(-4)\cdot(-20)=80.
Portanto \det(A)=80\neq 0.
Como \det(A)\neq 0, as colunas de A (que são exatamente os vetores de S) são linearmente independentes. E sendo quatro vetores independentes em \mathbb{R}^{4}, eles formam uma base e geram todo \mathbb{R}^{4}.

Resposta

Sim, S é uma base de \mathbb{R}^{4}.

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