Determine uma base do núcleo e uma base da imagem das transformações lineares abaixo:
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede uma base de
e uma base de
.
Para isso vamos (1) resolver o sistema e (2) obter as colunas de
em relação à base canônica, identificar um conjunto de vetores independentes e extrair uma base da imagem.
Para isso vamos (1) resolver o sistema
Passo 2
Escrevendo
Da primeira equação vem , que é redundante com a primeira. A quarta dá
. Substituindo em
obtemos
Não há outra restrição (a segunda fica
, sempre satisfeita), logo o núcleo é
Passo 3
Para a imagem, calculamos
Chamando
,
,
, notamos que
então
é combinação linear de
e
. Logo
é um conjunto gerador independente da imagem.
Passo 4
Concluímos que
Resposta
Uma base de
é
e uma base de
é