Determine uma base do núcleo e uma base da imagem das transformações lineares abaixo:
T: R^3 longrightarrow R^4, T(x, y, z)=(x+y, 3 y+6 z, 2 x+2 y, y+2 z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^4, T(x,y,z) = (x+y,;3y+6z,;2x+2y,;y+2z),
e pede uma base de ker T e uma base de Im,T.
Para isso vamos (1) resolver o sistema T(x,y,z)=0 e (2) obter as colunas de T em relação à base canônica, identificar um conjunto de vetores independentes e extrair uma base da imagem.

Passo 2

Escrevendo
Da primeira equação vem , que é redundante com a primeira. A quarta dá . Substituindo em obtemos
Não há outra restrição (a segunda fica , sempre satisfeita), logo o núcleo é

Passo 3

Para a imagem, calculamos
T(e1) = T(1,0,0) = (1,0,2,0), T(e2) = T(0,1,0) = (1,3,2,1), T(e3) = T(0,0,1) = (0,6,0,2)
Chamando v1 = (1,0,2,0), v2 = (1,3,2,1), v3 = (0,6,0,2), notamos que
v3 = -2,v1 + 2,v2,
então v3 é combinação linear de v1 e v2. Logo v1,v2 é um conjunto gerador independente da imagem.

Passo 4

Concluímos que

Resposta

Uma base de ker T é
(2,-2,1),
e uma base de Im,T é
(1,0,2,0),,(1,3,2,1)

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