Determine uma base do núcleo e uma base da imagem das transformações lineares abaixo:
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x+y, y+z, z+x);

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache uma base de ker(T) e uma base de Im(T) para a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x+y,;y+z,;z+x)
O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares: representar T por uma matriz na base canônica, depois encontrar núcleo (solução do sistema homogêneo) e imagem (espaço gerado pelas colunas).

Passo 2

Vamos representar T pela matriz A na base canônica. Sejam e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1). Então
T( e1) = (1,0,1), T( e2) = (1,1,0), T( e3) = (0,1,1)
Logo
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 ,
cuja j-ésima coluna é T( ej).

Passo 3

Para achar
isto é o sistema
Da primeira equação ; substituindo na terceira dá . Assim , logo .

Passo 4

Para a imagem notamos que
det(A) = 1cdotl(1cdot1 - 1cdot0r) -1cdotl(0cdot1 - 1cdot1r) +0cdotl(dotsr) =1 -(-1) = 2 neq 0
Como det(A)neq0, a matriz é invertível e Im(T)=R^3. Portanto uma base de Im(T) é a base canônica.

Resposta

Base de ker(T): emptyset (ou seja, ker(T)=(0,0,0)).
Base de Im(T): (1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1).

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