Seja D^2: C^prime prime(R) longrightarrow C(R) dada por D^2 y=y^prime prime. Determine ker(D^2).

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear
D^2:C''(R)to C(R), D^2y=y''
e pede seu núcleo (kernel), ou seja, o conjunto de todas as funções yin C''(R) tais que
D^2y=0
Para resolver, vamos usar que resolver y''=0 é um problema de EDO de segunda ordem muito simples.

Passo 2

Lembrando que o kernel de um operador linear L é
ker(L)=ymid L(y)=0,
aqui queremos
ker(D^2)=yin C''(R)mid y''(x)=0 para todo x
Então basta resolver a equação diferencial
y''(x)=0

Passo 3

Integrando uma vez em x, obtemos
y'(x)=A,
onde A é constante de integração. Integrando de novo,
y(x)=Ax+B,
onde B é outra constante de integração. Logo, toda solução de y''=0 é um polinômio de grau no máximo 1.

Resposta

ker(D^2)=,y(x)=Ax+Bmid A,BinR, isto é, o espaço vetorial gerado por 1 e x.

Exercícios relacionados